Điều đặc biệt về một bài toán tiếp tuyến của hàm số bậc 3

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_1$: $d_1: y=k_1(x-x_1)+y_1$, trong đó $k_1=y'(x_1), y_1=y(x_1)$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d_1$: $$x^3+ax+b=k_1(x-x_1)+y_1\qquad (1) $$

Vì phương trình này có nghiệm kép $x=x_1$ nên lập sơ đồ Horner ta tìm được $x_2$:

$(1) ⇔ (x-x_1)^2(x+2x_1)=0 ⇔ x=x_1\ \vee\ x=-2x_1 $.

Vậy $x_2=-2x_1$.

Tiếp tục như thế ta có $x_n=-2x_{n-1}$. Từ đó suy ra $x_n=(-2)^{n-1}x_1$ (chú ý dãy số $(x)_n$ là cấp số nhân).

Vì $x_n$ là số tự nhiên nên $n$ là số tự nhiên lẻ. Khi đó $x_n=2^{n-1}.x_1$. Ngoài ra $x_n$ có $m$ chữ số khi và chỉ khi

$[\log x_n]=m-1 ⇔ [(n-1)\log 2+\log x_1] =m-1$.

Để giải phương trình “phần nguyên” này ta tìm số tự nhiên (lẻ) nhỏ nhất $n$ thoả bất phương trình $(n-1)\log 2+\log x_1 \geqslant m-1$.

Áp dụng bằng số: $x_1=3, m=2024$ ta có $n \geqslant x$ . Vậy $n=6721$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.