Điều đặc biệt về một bài toán tiếp tuyến của hàm số bậc 3

Bài toán Cho hàm số $y=x^3+ax+b \ (a, b \in \mathbb{R})$ (không có số hạng chứa $x^2$) có đồ thị $(C)$. Một điểm $M_1$ nằm trên ($C)$ có hoành độ bằng $x_1>0$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại $M_1$, cắt $(C)$ tại $M_2$, và có hoành độ $x_2$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại $M_2$, cắt $(C)$ tại $M_3$, có hoành độ độ $x_3$ … Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_{n-1}$, cắt đồ thị hàm số tại điểm $M_n$ có hoành độ $x_n$. Tìm $n$ để $x_n$ là số một số tự nhiên có $m$ chữ số,

 

GIẢI

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_1$: $d_1: y=k_1(x-x_1)+y_1$, trong đó $k_1=y'(x_1), y_1=y(x_1)$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d_1$: $$x^3+ax+b=k_1(x-x_1)+y_1\qquad (1) $$

Vì phương trình này có nghiệm kép $x=x_1$ nên lập sơ đồ Horner ta tìm được $x_2$:
dd1

$(1) ⇔ (x-x_1)^2(x+2x_1)=0 ⇔ x=x_1\ \vee\ x=-2x_1 $.

Vậy $x_2=-2x_1$.

Tiếp tục như thế ta có $x_n=-2x_{n-1}$. Từ đó suy ra $x_n=(-2)^{n-1}x_1$ (chú ý dãy số $(x)_n$ là cấp số nhân).

Vì $x_n$ là số tự nhiên nên $n$ là số tự nhiên lẻ. Khi đó $x_n=2^{n-1}.x_1$. Ngoài ra $x_n$ có $m$ chữ số khi và chỉ khi

$[\log x_n]=m-1 ⇔ [(n-1)\log 2+\log x_1] =m-1$.

Để giải phương trình “phần nguyên” này ta tìm số tự nhiên (lẻ) nhỏ nhất $n$ thoả bất phương trình $(n-1)\log 2+\log x_1 \geqslant m-1$.

Áp dụng bằng số: $x_1=3, m=2024$ ta có $n \geqslant x$ dd2. Vậy $n=6721$.

 

 

Điều “đặc biệt” của bài toán này là dễ dàng giải được phương trình (1) với số liệu “mơ hồ” .

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Diện tích của trăng lưỡi liềm

Bài toán. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai điểm $B(6;0)$ và $E(3;3$. Đường tròn tâm …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết