BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc 3
- 15/02/2024
- 522 lượt xem
| Bài toán Cho hàm số $y=x^3+ax+b \ (a, b \in \mathbb{R})$ (không có số hạng chứa $x^2$) có đồ thị $(C)$. Một điểm $M_1$ nằm trên ($C)$ có hoành độ bằng $x_1>0$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại $M_1$, cắt $(C)$ tại $M_2$, và có hoành độ $x_2$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại $M_2$, cắt $(C)$ tại $M_3$, có hoành độ độ $x_3$ … Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_{n-1}$, cắt đồ thị hàm số tại điểm $M_n$ có hoành độ $x_n$. Tìm $n$ để $x_n$ là số một số tự nhiên có $m$ chữ số, |
Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_1$: $d_1: y=k_1(x-x_1)+y_1$, trong đó $k_1=y'(x_1), y_1=y(x_1)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d_1$: $$x^3+ax+b=k_1(x-x_1)+y_1\qquad (1) $$
Vì phương trình này có nghiệm kép $x=x_1$ nên lập sơ đồ Horner ta tìm được $x_2$:
$(1) ⇔ (x-x_1)^2(x+2x_1)=0 ⇔ x=x_1\ \vee\ x=-2x_1 $.
Vậy $x_2=-2x_1$.
Tiếp tục như thế ta có $x_n=-2x_{n-1}$. Từ đó suy ra $x_n=(-2)^{n-1}x_1$ (chú ý dãy số $(x)_n$ là cấp số nhân).
Vì $x_n$ là số tự nhiên và $x_1>0$ nên $n$ là số tự nhiên lẻ. Khi đó $x_n=2^{n-1}.x_1$. Ngoài ra $x_n$ có $m$ chữ số khi và chỉ khi
$$[\log x_n]=m-1 ⇔ [(n-1)\log 2+\log x_1] =m-1.$$
Để giải phương trình “phần nguyên” này ta tìm số tự nhiên (lẻ) nhỏ nhất $n$ thoả bất phương trình $$(n-1)\log 2+\log x_1 \geqslant m-1.$$
| Áp dụng bằng số:
|
. Vậy $n=6721$.
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
