Bổ sung về một bài toán dãy số quy nạp

Cho dãy số $\qquad \qquad a_1=0, a_{n}=\dfrac{(n-1)n}{(n+1)(n+2)}(a_{n-1}+1)\quad \forall n \geqslant 2.$ Tính $a_{2024}$

 

Lần trước chúng tôi giới thiệu số hạng tổng quát, dạng chưa thu gọn và dạng thu gọn:

$$a_1=0, a_n=\dfrac{(n-1)(2n+1)}{10(n+1)}\ (n \geqslant 2)$$

 

Bài viết này trình bày lộ trình dẫn đến kết quả đó.
 

Ta tìm 10 số hạng đầu tiên của dãy số để từ đó dự đoán số hạng tổng quát.
 

a m $\left(a_2=\dfrac{T_2}{M_2}\right)$

a h $\left(a_3=\dfrac{T_3}{M_3}\right)$

a b $\left(a_4=\dfrac{T_4}{M_4}\right)$

a p $a_5=\dfrac{77}{105}$

a n $a_6=\dfrac{182}{196}$

a s $a_7=\dfrac{378}{336}$

a q $a_8=\dfrac{714}{540}$

a t $a_9=\dfrac{1254}{825}$

a c $a_{10}=\dfrac{2079}{1210}$

 

Ta dự đoán $a_n=\dfrac{T_n}{M_n}$ trong đó $T_n=T_{n-1}+M_{n-1}\quad (1)$ và $M_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{(n-1)n}.M_{n-1}\quad (2)$.

 

Dựa vào biểu thức quy nạp (2) ta tính được : $M_n=\dfrac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$.

Dựa vào biểu thức quy nạp (1) ta tính được : $T_n=\dfrac{n(2n^4+5n^3-5n-2)}{120}$.

Từ đó suy ra $$a_n=\dfrac{(n-1)(2n+1)}{10(n+1)}\ (n \geqslant 2)$$

Việc chứng minh $a_n$ thoả yêu cầu bài toán không khó, dành cho độc giả.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Giải 5 câu trắc nghiệm Đ/S lớp 11 của SGD Hà Nội – 5

  a) Đ   b) S $\qquad $ Hàm số logarit có thể lấy giá …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết