Tính nhanh thể tích khối tứ diện khi biết 6 cạnh

Cho khối tứ diện như hình vẽ:cn1a 1

Xây dựng ma trận vuông cấp 3 theo từng bước như sau:
$\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&\color{red}\bullet&\\
\color{red}\bullet&2d_{13}^2&\\
&&2d_{14}^2
\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&\color{blue}\bullet\\
d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&\\
\color{blue}\bullet&&2d_{14}^2
\end{array}\right)$

(tổng bình phương hai cạnh tam giác $A_1A_2A_3$ trừ bình phương cạnh thứ ba)

$\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2 \\
d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&\color{magenta}\bullet\\
d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2&\color{magenta}\bullet&2d_{14}^2
\end{array}\right)$

(tổng bình phương hai cạnh tam giác $A_1A_2A_4$ trừ bình phương cạnh thứ ba)

$\rightarrow
A=\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2 \\
d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2\\
d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2&d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2&2d_{14}^2
\end{array}\right)$

(tổng bình phương hai cạnh tam giác $A_1A_3A_4$ trừ bình phương cạnh thứ ba).

Khi đó: $$V_{A_1A_2A_3A_4}=\sqrt{\dfrac{\det A}{288}}$$

 

Áp dụng 1: Khối tứ diện $ABCD$ có $$AB=5,CD=\sqrt{10},AC=2\sqrt2,BD=3\sqrt3,AD=\sqrt{22},BC=\sqrt{13}$$
có thể tích bằng
A. 20.
B. 5.
C. 15.
D. 10.

 

 

Sắp các cạnh theo thứ tự:$$AB=5, AC=2\sqrt2, AD=\sqrt{22}, BC=\sqrt{13}, BD=3\sqrt3, CD=\sqrt{10}$$
 
cn1b

 

Áp dụng 2: Cho khối lăng trụ $ABC.A′B′C′$ có $\widehat{AA′B}=\widehat{BA′C} =\widehat{CA′A} =60^\circ$ và $AA′=3a$,$BA′=4a$,$CA′=5a$.
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
 
A. $10\sqrt2a^3$.
B. $15\sqrt2a^3$.
C. $5\sqrt2a^3$.
D. $30\sqrt2a^3$.

 

 

Chú ý: $d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2=2.d_{12}d_{13}.\cos\widehat{A_2A_1A_3}$
 

cn1c

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Giải câu 49 đề minh hoạ của BGD và ĐT

  Ta có: $g'(x)=(-3x^2+6x)f'(-x^3+3x^2+m)$ $g'(x)=0 ⇔ \left[\begin{array}{ll}-3x^2+6x=0 &(1)\\ f'(-x^3+3x^2+m)=0 &(2) \end{array} \right.$ Phương trình (1) …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết