Tính nhanh thể tích khối tứ diện khi biết 6 cạnh
- 25/02/2024
- 391 lượt xem
Cho khối tứ diện như hình vẽ:
Xây dựng ma trận vuông cấp 3 theo từng bước như sau:
$\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&\color{red}\bullet&\\
\color{red}\bullet&2d_{13}^2&\\
&&2d_{14}^2
\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&\color{blue}\bullet\\
d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&\\
\color{blue}\bullet&&2d_{14}^2
\end{array}\right)$
(tổng bình phương hai cạnh tam giác $A_1A_2A_3$ trừ bình phương cạnh thứ ba)
$\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2 \\
d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&\color{magenta}\bullet\\
d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2&\color{magenta}\bullet&2d_{14}^2
\end{array}\right)$
(tổng bình phương hai cạnh tam giác $A_1A_2A_4$ trừ bình phương cạnh thứ ba)
$\rightarrow
A=\left(\begin{array}{ccc}
2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2 \\
d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2\\
d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2&d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2&2d_{14}^2
\end{array}\right)$
(tổng bình phương hai cạnh tam giác $A_1A_3A_4$ trừ bình phương cạnh thứ ba).
Khi đó: $$V_{A_1A_2A_3A_4}=\sqrt{\dfrac{\det A}{288}}$$ |
Áp dụng 1: Khối tứ diện $ABCD$ có $$AB=5,CD=\sqrt{10},AC=2\sqrt2,BD=3\sqrt3,AD=\sqrt{22},BC=\sqrt{13}$$ có thể tích bằng A. 20. B. 5. C. 15. D. 10. |
Sắp các cạnh theo thứ tự:$$AB=5, AC=2\sqrt2, AD=\sqrt{22}, BC=\sqrt{13}, BD=3\sqrt3, CD=\sqrt{10}$$
Áp dụng 2: Cho khối lăng trụ $ABC.A′B′C′$ có $\widehat{AA′B}=\widehat{BA′C} =\widehat{CA′A} =60^\circ$ và $AA′=3a$,$BA′=4a$,$CA′=5a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. $10\sqrt2a^3$. B. $15\sqrt2a^3$. C. $5\sqrt2a^3$. D. $30\sqrt2a^3$. |
Chú ý: $d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2=2.d_{12}d_{13}.\cos\widehat{A_2A_1A_3}$