Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn

Trong phần đại số của lớp 11 chúng ta gặp phương trình lượng giác, chủ yếu là phương trình lượng giác cơ bản. Trong bài thi HSG MTCT, bài toán yêu cầu tìm tất các nghiệm của một phương trình lượng giác trên một đoạn khá rộng.
Ví dụ 1:

ptlg2z

GIẢI

$\cos 2x+2\sin 3x=1 ⇔ -2\sin^2x+2(3\sin x-4\sin^3x)=0$

$ ⇔ 4\sin^3x+\sin^2x-3\sin x=0⇔ \left[\begin{array}{ll}\sin x=0 & (1)\\ \sin x=-1 & (2)\\ \sin x=\dfrac34& (3)\end{array}\right.$

Vì VT của phương trình là biểu thức của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi$ nên ta trước hết ta xét nghiệm trên nửa đoạn $[0;2\pi)$. Các phương trình (1) và (3) mỗi phương trình cho 2 nghiệm với tổng bằng $\pi$, phương trình (2) cho một nghiệm $\dfrac{3\pi}{2}$.Tổng của 5 nghiệm này bẳng $\dfrac{7\pi}{2}$.

Bây giờ ta đếm đoạn $[0;100]$ chứa bao nhiêu chu kỳ. Vì hsg24lg1a nên đoạn $[0;100]$ chia thành 16 đoạn, 15 đoạn đầu tiên ứng với 15 chu kỳ liên tiếp, đoạn thứ 16 là $[30\pi; 100]$ tuy không chứa hết chu kỳ nhưng chứa tất cả các nghiệm vì nghiệm lớn nhất $\dfrac{3\pi}{2}+30\pi <100$ hsg24lg1c.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;100]$ là $\displaystyle\sum_{k=0}^{15}\left(\dfrac{7\pi}{2}+k.10\pi\right)$ hsg24lg1b.
 
 

Ví dụ 2:

ptlg2a

 

GIẢI

 

$2\sin^2x-\cos 3x=1 ⇔ 4\cos^3x+2\cos^2x-3\cos x-1=0 ⇔ \left[\begin{array}{l}\cos x=A\\
\cos x=B\\
\cos x=-1\end{array} \right. $ ptlg2b lưu $x_1, x_2$ lần lượt vào AB.

Vì $y=\cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ nên trước hết ta xét trên chu kỳ $[-\pi;\pi)$. Trên chu kỳ này phương trình có 5 nghiệm:

ptlg2dm $$-\pi, -\arccos B, -\arccos A, \arccos A, \arccos B$$

Bây giờ ta xét trên đoạn $[200;300]$.

Ta cộng $64\pi$ vào 5 nghiệm thì thấy nghiệm $64\pi + (-\arccos A) ; 64\pi + \arccos A ; 64\pi + \arccos B$ thuộc đoạn [200;300]. Vì một chu kỳ có 5 nghiệm nên ta lấy thêm hai nghiệm của chu kỳ tiếp theo $64\pi +\pi ; 66\pi +(-\arccos B)$.
 
ptlg2e
Vậy ta chia đoạn $[200;300]$ thành ptlg2f chu kỳ và một đoạn cuối $[94\pi;300]$ ptlg2g.
 
Đoạn cuối không đủ một chu kỳ nhưng chứa đủ 5 nghiệm vì nghiệm cuối cùng là ptlg2h thuộc đoạn này.
 
Tóm lại nếu ta chọn chu kỳ đầu tiên là $\left[64\pi+\arccos A;66\pi+\arccos A\right]$ thì chu kỳ này có 5 nghiệm:

ptlg2j

Tổng của 5 nghiệm này bằng (xem hình minh hoạ ở trên):
$$-\arccos A+\arccos A+\arccos B+\pi+(2\pi-\arccos B)+k10\pi=3\pi + k10\pi \quad \text{với} \ k=32.$$

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[200;300]$ (tức là trên 16 chu kỳ) là ptlg2i
 
 

Có thể các bạn sẽ thắc mắc: ở đâu ra $64\pi, 94\pi, 30\pi$? Nếu có thắc mắc như vậy, chúng tôi sẽ trả lời trên Cộng đồng GV Casio. Nếu các bạn tự trả lời được thì xem như bài toán đã hoàn thành.

 

 
 

Ví dụ 3:

ptlg1a

GIẢI

 

Vì $x=\dfrac{1-11\sin x}{2}$ và $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$ nên $-5\leqslant x \leqslant 6$.

Xét hàm số $f(x)=11\sin x-1+2x$, $x \in [-5;6]$ ta có: $f'(x)=11\cos x+2$.

Phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=\pm \arccos\dfrac{-2}{11}+k2\pi$. Vì $\in [-5;6]$ nên 4 nghiệm này là

ptlg1b
 
Lập bảng giá trị cho $f(x)$ với $x$ chạy từ mút trái đến mút phải ngang qua các điểm cực trị:
 

ptlg1c
 
ta thấy phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm và biết khoảng chứa nghiệm. Ta dùng Solver để tìm 5 nghiệm đó (khi dùng Solver, chọn giá trị nhập vào là trung bình cộng của hai mút):
 
ptlg1d lưu vào E.
 

ptlg1e lưu vào F.
 

ptlg1f tự động lưu vào x.
 

ptlg1g lưu vào y.
 
ptlg1h lưu vào z.

 

Cuối cùng: ptlg1i

 
 
 

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Phương pháp CALC1000 tính $y$ theo $x$ từ phương trình $f(x,y)=0$

Trong các câu vận dụng cao của bài thi Tốt nghiệp THPT cho ta một …