Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn
- 19/02/2024
- 826 lượt xem
Trong phần đại số của lớp 11 chúng ta gặp phương trình lượng giác, chủ yếu là phương trình lượng giác cơ bản. Trong bài thi HSG MTCT, bài toán yêu cầu tìm tất các nghiệm của một phương trình lượng giác trên một đoạn khá rộng. |
Ví dụ 1:
|
$\cos 2x+2\sin 3x=1 ⇔ -2\sin^2x+2(3\sin x-4\sin^3x)=0$
$ ⇔ 4\sin^3x+\sin^2x-3\sin x=0⇔ \left[\begin{array}{ll}\sin x=0 & (1)\\ \sin x=-1 & (2)\\ \sin x=\dfrac34& (3)\end{array}\right.$
Vì VT của phương trình là biểu thức của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi$ nên ta trước hết ta xét nghiệm trên nửa đoạn $[0;2\pi)$. Các phương trình (1) và (3) mỗi phương trình cho 2 nghiệm với tổng bằng $\pi$, phương trình (2) cho một nghiệm $\dfrac{3\pi}{2}$.Tổng của 5 nghiệm này bẳng $\dfrac{7\pi}{2}$.
Bây giờ ta đếm đoạn $[0;100]$ chứa bao nhiêu chu kỳ. Vì nên đoạn $[0;100]$ chia thành 16 đoạn, 15 đoạn đầu tiên ứng với 15 chu kỳ liên tiếp, đoạn thứ 16 là $[30\pi; 100]$ tuy không chứa hết chu kỳ nhưng chứa tất cả các nghiệm vì nghiệm lớn nhất $\dfrac{3\pi}{2}+30\pi <100$ .
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;100]$ là $\displaystyle\sum_{k=0}^{15}\left(\dfrac{7\pi}{2}+k.10\pi\right)$ .
Ví dụ 2: |
$2\sin^2x-\cos 3x=1 ⇔ 4\cos^3x+2\cos^2x-3\cos x-1=0 ⇔ \left[\begin{array}{l}\cos x=A\\
\cos x=B\\
\cos x=-1\end{array} \right. $ lưu $x_1, x_2$ lần lượt vào A và B.
Vì $y=\cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ nên trước hết ta xét trên chu kỳ $[-\pi;\pi)$. Trên chu kỳ này phương trình có 5 nghiệm:
$$-\pi, -\arccos B, -\arccos A, \arccos A, \arccos B$$ |
Bây giờ ta xét trên đoạn $[200;300]$.
Ta cộng $64\pi$ vào 5 nghiệm thì thấy nghiệm $64\pi + (-\arccos A) ; 64\pi + \arccos A ; 64\pi + \arccos B$ thuộc đoạn [200;300]. Vì một chu kỳ có 5 nghiệm nên ta lấy thêm hai nghiệm của chu kỳ tiếp theo $64\pi +\pi ; 66\pi +(-\arccos B)$.
Vậy ta chia đoạn $[200;300]$ thành chu kỳ và một đoạn cuối $[94\pi;300]$ .
Đoạn cuối không đủ một chu kỳ nhưng chứa đủ 5 nghiệm vì nghiệm cuối cùng là thuộc đoạn này.
Tóm lại nếu ta chọn chu kỳ đầu tiên là $\left[64\pi+\arccos A;66\pi+\arccos A\right]$ thì chu kỳ này có 5 nghiệm:
Tổng của 5 nghiệm này bằng (xem hình minh hoạ ở trên):
$$-\arccos A+\arccos A+\arccos B+\pi+(2\pi-\arccos B)+k10\pi=3\pi + k10\pi \quad \text{với} \ k=32.$$
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[200;300]$ (tức là trên 16 chu kỳ) là
Có thể các bạn sẽ thắc mắc: ở đâu ra $64\pi, 94\pi, 30\pi$? Nếu có thắc mắc như vậy, chúng tôi sẽ trả lời trên Cộng đồng GV Casio. Nếu các bạn tự trả lời được thì xem như bài toán đã hoàn thành. |
Ví dụ 3:
|
Vì $x=\dfrac{1-11\sin x}{2}$ và $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$ nên $-5\leqslant x \leqslant 6$.
Xét hàm số $f(x)=11\sin x-1+2x$, $x \in [-5;6]$ ta có: $f'(x)=11\cos x+2$.
Phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=\pm \arccos\dfrac{-2}{11}+k2\pi$. Vì $\in [-5;6]$ nên 4 nghiệm này là
Lập bảng giá trị cho $f(x)$ với $x$ chạy từ mút trái đến mút phải ngang qua các điểm cực trị:
ta thấy phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm và biết khoảng chứa nghiệm. Ta dùng Solver để tìm 5 nghiệm đó (khi dùng Solver, chọn giá trị nhập vào là trung bình cộng của hai mút):
lưu vào E.
lưu vào F.
tự động lưu vào x.
lưu vào y.
lưu vào z.
Cuối cùng: