Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn

Trong phần đại số của lớp 11 chúng ta gặp phương trình lượng giác, chủ yếu là phương trình lượng giác cơ bản. Trong bài thi HSG MTCT, bài toán yêu cầu tìm tất các nghiệm của một phương trình lượng giác trên một đoạn khá rộng.
Ví dụ: Tính tổng tất cả các nghiệm trên $[0;100]$ của phương trình $\cos 2x + 2 \sin 3x = 1$.
GIẢI

$\cos 2x+2\sin 3x=1 ⇔ -2\sin^2x+2(3\sin x-4\sin^3x)=0$

$ ⇔ 4\sin^3x+\sin^2x-3\sin x=0⇔ \left[\begin{array}{ll}\sin x=0 & (1)\\ \sin x=-1 & (2)\\ \sin x=\dfrac34& (3)\end{array}\right.$

Vì VT của phương trình là biểu thức của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi$ nên ta trước hết ta xét nghiệm trên đoạn $[0;2\pi]$. Các phương trình (1) và (3) mỗi phương trình cho 2 nghiệm với tổng bằng $\pi$, phương trình (2) cho một nghiệm $\dfrac{3\pi}{2}$.Tổng của 5 nghiệm này bẳng $\dfrac{7\pi}{2}$.

Bây giờ ta đếm đoạn $[0;100]$ chứa bao nhiêu chu kỳ. Vì hsg24lg1a nên đoạn $[0;100]$ chia thành 16 đoạn, 15 đoạn đầu tiên ứng với 15 chu kỳ liên tiếp, đoạn thứ 16 là $[30\pi; 100]$ tuy không chứa hết chu kỳ nhưng chứa tất cả các nghiệm vì nghiệm lớn nhất $\dfrac{3\pi}{2}+30\pi <100$ hsg24lg1c.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;100]$ là $\displaystyle\sum_{k=0}^{15}\left(\dfrac{7\pi}{2}+k.10\pi\right)$ hsg24lg1b.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Thực hiện một tổng hữu hạn và chuyển kết quả thành hỗn số

Bài toán. Tính tổng $\displaystyle S=\sum_{i=1}^{100}\dfrac{3k^3+11k^2+5k-2}{k^2+4k+3}$ và viết kết quả dưới dạng hỗn số.   …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết