BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn
- 19/02/2024
- 1,653 lượt xem
| Trong phần đại số của lớp 11 chúng ta gặp phương trình lượng giác, chủ yếu là phương trình lượng giác cơ bản. Trong bài thi HSG MTCT, bài toán yêu cầu tìm tất các nghiệm của một phương trình lượng giác trên một đoạn khá rộng. |
| Ví dụ 1:
|
$\cos 2x+2\sin 3x=1 ⇔ -2\sin^2x+2(3\sin x-4\sin^3x)=0$
$ ⇔ 4\sin^3x+\sin^2x-3\sin x=0⇔ \left[\begin{array}{ll}\sin x=0 & (1)\\ \sin x=-1 & (2)\\ \sin x=\dfrac34& (3)\end{array}\right.$
Vì VT của phương trình là biểu thức của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi$ nên ta trước hết ta xét nghiệm trên nửa đoạn $[0;2\pi)$. Các phương trình (1) và (3) mỗi phương trình cho 2 nghiệm với tổng bằng $\pi$, phương trình (2) cho một nghiệm $\dfrac{3\pi}{2}$.Tổng của 5 nghiệm này bẳng $\dfrac{7\pi}{2}$.
Bây giờ ta đếm đoạn $[0;100]$ chứa bao nhiêu chu kỳ. Vì 
nên đoạn $[0;100]$ chia thành 16 đoạn, 15 đoạn đầu tiên ứng với 15 chu kỳ liên tiếp, đoạn thứ 16 là $[30\pi; 100]$ tuy không chứa hết chu kỳ nhưng chứa tất cả các nghiệm vì nghiệm lớn nhất $\dfrac{3\pi}{2}+30\pi <100$ 
.
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;100]$ là $\displaystyle\sum_{k=0}^{15}\left(\dfrac{7\pi}{2}+k.10\pi\right)$ 
.
| Ví dụ 2:
|
|
LỜI GIẢI
|
|
Xét hàm số $f(x)=2\sin^2x-\cos 3x-1$. Đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi$ nên ta xét nghiệm của phương trình $f(x)=0$ trên đoạn $[0;2\pi]$. $2\sin^2x-\cos 3x=1 ⇔ 4\cos^3x+2\cos^2x-3\cos x-1=0 ⇔ \left[\begin{array}{l}\cos x=A\\ Trên chu kỳ $[0;2\pi]$ phương trình có 5 nghiệm: (Nếu có kinh nghiệm có thể tìm được 5 nghiệm này trực tiếp từ phương trình đã cho, không cần biến thành 3 phương trình lượng giác cơ bản)
Bây giờ ta tịnh tiến đoạn $[0;2\pi]$ theo chiều dương của truc hoành sao cho đoạn này vào nằm ở vị trí đầu của đoạn $[200;300]$. Muốn vậy ta chọn vectơ tịnh tiến có độ dài $64\pi$ (phải lấy $k2\pi$ và vì $64\pi\approx 201,061919298$). Trong chu kỳ đầu tiên trên đoạn $[200;300]$ tổng của các nghiệm sẽ là $5\pi +5\times 64\pi=325\pi,$ Những chu kỳ tiếp theo cộng $5\times k2\pi$.
Tóm lại tổng tất cả các nghiệm là |
lưu $x_1, x_2$ lần lượt vào A và B.
Vậy đoạn $[200;300]$ ta chia làm 15 chu kỳ “trọn”, một đoạn cuối và một đoạn đầu. Đoạn đầu chứa 1 nghiệm là $\dfrac{9\pi}{5}+62\pi$, đoạn cuối chứa 4 nghiệm, do nghiệm cuối cùng $\dfrac{9\pi}{5}+94\pi \approx 300,96445762$ ra ngoài đoạn đang xét.
| Ví dụ 3:
|
Vì $x=\dfrac{1-11\sin x}{2}$ và $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$ nên $-5\leqslant x \leqslant 6$.
Xét hàm số $f(x)=11\sin x-1+2x$, $x \in [-5;6]$.
Lập bảng giá trị cho $f(x)$ với $x$ chạy từ $-5$ đến $6$, bước là $\dfrac{11}{44}$, ta quan sát tại các chỗ đổi dấu, nghiệm sẽ xấp xỉ tại đó:
ta thấy phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm và biết khoảng chứa nghiệm. Ta dùng Solver để tìm 5 nghiệm đó (khi dùng Solver, chọn giá trị nhập vào là trung bình cộng của hai mút):
lưu vào E.
lưu vào F.
tự động lưu vào x.
lưu vào y.
lưu vào z.
Cuối cùng: 
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
