Phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{33}$

Chúng ta biết rằng máy tính Casio fx-880BTG có khả năng hiển thị đến 23 chữ số. Tuy nhiên có một số trường đặc biệt, khả năng này nẩy sinh vấn đề mà cần phải có sự can thiệp từ người sử dụng máy tính.
Ví dụ: Tìm phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{33}$

 

Ta giải bài toán này trên máy tính Casio fx-880BTG như sau:
bt2d
 
Kết quả của máy tính cung cấp: 7486331750517906052.

Ta biết $(2+\sqrt3)^{33}$ là một số thận phân vô hạn không tuần hoàn, mà máy tính hiển thị số nguyên do đó chữ số đơn vị (là số $2$ ) đã được làm tròn. Ta chứng minh phép làm tròn này là “làm tròn lên“.

Vậy phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{33}$ là $7486331750517906051$.

 

 
 
Chứng minh. Ta có:

$2+\sqrt3=a_1+b_1\sqrt3$

$(2+\sqrt3)^2=(a_1+b_1\sqrt3)(2+\sqrt3)=a_2+b_2\sqrt3\qquad =7+4\sqrt3$.

$(2+\sqrt3)^3=(a_2+b_2\sqrt3)(2+\sqrt3)=a_3+b_3\sqrt3\quad =26+15\sqrt3$, với $a_3=2a_2+3b_2, b_3=a_2+2b_2$

…………………………………..

$(2+\sqrt3)^{32}=a_{32}+b_{32}\sqrt3\quad $ với $a_{32}=2a_{31}+3b_{31}, b_{32}=a_{31}+2b_{31}$

$(2+\sqrt3)^{33}=a_{33}+b_{33}\sqrt3\quad $ với $a_{33}=2a_{32}+3b_{31}, b_{33}=a_{32}+2b_{32}$
 
Nhận xét: $a_1^2-3b_1^2=1, a_2^2-3b_2^2=1, a_3^2-3b_3^2=1$

Ta chứng minh quy nạp rằng $a_{33}^2-3b_{33}^2=1$. Thật vậy

$a_{33}^2-3b_{33}^2=(2a_{32}+3b_{32})^2-3(a_{32}+2b_{32})^2=a_{32}^2-3b_{32}^2=1$ theo giả thiết quy nạp.

Tóm lại ta đã chứng minh được $a_{33}^2-3b_{33}^2=1 ⇒ a_{33}^2-3b_{33}^2>0 ⇔ a_{33}>b_{33}\sqrt3$. Suy ra

$(2+\sqrt3)^{33}<2a_{33}$.
 
Sử dụng bảng tính để tính $(2+\sqrt3)^n$ với $n=1,2,3\dots 32, 33$ bt2a
 
Dòng $33$ biểu diễn số $(2+\sqrt3)^{33}=A_{33}+B_{33}\sqrt3$ trong đó $A_{33}=3743165875258953026$.
 
Vậy $(2+\sqrt3)^{33}<2A_{33}=2.3743165875258953026=7486331750517906052$.

Vậy phép làm tròn nói ở đầu bài viết là phép làm tròn lên.
 
 
 

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài Viết Tương Tự

Phép giải tam giác

      Áp dụng định lý Mê-nê-la-uyt cho tam giác $ANC$ với cát tuyến …