Phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{33}$
- 31/01/2024
- 1,191 lượt xem
Chúng ta biết rằng máy tính Casio fx-880BTG có khả năng hiển thị đến 23 chữ số. Tuy nhiên có một số trường đặc biệt, khả năng này nẩy sinh vấn đề mà cần phải có sự can thiệp từ người sử dụng máy tính. |
Ví dụ: Tìm phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{33}$ |
Ta giải bài toán này trên máy tính Casio fx-880BTG như sau:
Kết quả của máy tính cung cấp: 7486331750517906052.
Ta biết $(2+\sqrt3)^{33}$ là một số thận phân vô hạn không tuần hoàn, mà máy tính hiển thị số nguyên do đó chữ số đơn vị (là số $2$ ) đã được làm tròn. Ta chứng minh phép làm tròn này là “làm tròn lên“.
Vậy phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{33}$ là $7486331750517906051$.
Chứng minh. Ta có:
$2+\sqrt3=a_1+b_1\sqrt3$
$(2+\sqrt3)^2=(a_1+b_1\sqrt3)(2+\sqrt3)=a_2+b_2\sqrt3\qquad =7+4\sqrt3$.
$(2+\sqrt3)^3=(a_2+b_2\sqrt3)(2+\sqrt3)=a_3+b_3\sqrt3\quad =26+15\sqrt3$, với $a_3=2a_2+3b_2, b_3=a_2+2b_2$
…………………………………..
$(2+\sqrt3)^{32}=a_{32}+b_{32}\sqrt3\quad $ với $a_{32}=2a_{31}+3b_{31}, b_{32}=a_{31}+2b_{31}$
$(2+\sqrt3)^{33}=a_{33}+b_{33}\sqrt3\quad $ với $a_{33}=2a_{32}+3b_{31}, b_{33}=a_{32}+2b_{32}$
Nhận xét: $a_1^2-3b_1^2=1, a_2^2-3b_2^2=1, a_3^2-3b_3^2=1$
Ta chứng minh quy nạp rằng $a_{33}^2-3b_{33}^2=1$. Thật vậy
$a_{33}^2-3b_{33}^2=(2a_{32}+3b_{32})^2-3(a_{32}+2b_{32})^2=a_{32}^2-3b_{32}^2=1$ theo giả thiết quy nạp.
Tóm lại ta đã chứng minh được $a_{33}^2-3b_{33}^2=1 ⇒ a_{33}^2-3b_{33}^2>0 ⇔ a_{33}>b_{33}\sqrt3$. Suy ra
$(2+\sqrt3)^{33}<2a_{33}$.
Sử dụng bảng tính để tính $(2+\sqrt3)^n$ với $n=1,2,3\dots 32, 33$
Dòng $33$ biểu diễn số $(2+\sqrt3)^{33}=A_{33}+B_{33}\sqrt3$ trong đó $A_{33}=3743165875258953026$.
Vậy $(2+\sqrt3)^{33}<2A_{33}=2.3743165875258953026=7486331750517906052$.
Vậy phép làm tròn nói ở đầu bài viết là phép làm tròn lên.