BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{32}$
- 02/02/2024
- 481 lượt xem
Nếu ta thực hiện phép tính $(2+\sqrt3)^{32}$ trên máy tính Casio fx-880BTG. máy tính sẽ xuất ra kết quả được làm tròn thành số nguyên: |
Ta biết rằng $(a+b\sqrt3)^n=A+B\sqrt3\quad (a, b, A, B \in \mathbb{N})$, nghĩa là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Do đó việc hiển thị thành một số nguyên là do máy tính đã làm tròn. Có hai khả năng làm tròn: làm tròn lên hoặc làm tròn xuống. Ta chứng minh máy tính đã làm tròn lên. Do đó phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{32}$ là $2005956546822746113$.
Chứng minh. Mở một bảng tính, biểu diễn số $2+\sqrt3$ lên dòng 1 như trong hình (trái trên).
Để biểu diễn $(2+\sqrt3)^2$ ta dùng $A_2+B_2.\sqrt3$ với $A_2=A_1^2+3B_1^2$ và $B_2=2A_1B_1$ (chú ý $B_2$ chỉ là phần đi với $\sqrt3$).
Điền công thức đến dòng 6 ta sẽ có $(2+\sqrt3)^{32}$:
Ta có $(2+\sqrt3)^{32}=\left(A_5+B_5\sqrt3\right)^{2}<2\left(A_5^2+3B_5^2\right)=2A_6=2. 1002978273411373057=2005956546822746114$.
Chú ý ta đã sử dụng bất đẳng thức $$(x+y)^2<2(x^2+y^2)\ \forall x, y : x\ne y.$$
Vậy việc làm tròn nói ở đầu bài viết là làm tròn lên.
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
