Sử dụng bảng tính để tính $(a+b\sqrt3)^n\ (a, b \in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N})$ thành $A+B\sqrt3$

Khi $n=1$ ta có: $2+\sqrt3=a_1+b_1\sqrt3$

Khi $n=2$ ta có $(2+\sqrt3)^2=(a_1+b_1\sqrt3).(2+\sqrt3)=2a_1+3b_1+(a_1+2b_1)\sqrt3=a_2+b_2\sqrt3$

……………………………………………………………………………………..

$(2+\sqrt3)^n=2a_{n-1}+3b_{n-1}+(a_{n-1}+2b_{n-1})\sqrt3$

Mở một bảng tính, nhập 2 vào A1, 1 vào B1 và $\sqrt3$ vào C1.
 

Ta điền công thức sau vào A2/B2 sau đó chọn phạm vi A2:A5 / B2: B5 để tính $(2+\sqrt3)^n$ với $n=2,3,4,5$.

A2=2A1+3B1; B2=A1+2B1
 

 
Kết quả:
 

Thay $x=2+\sqrt3$ vào đa thức ta được kết quả là một số có dạng $A+B\sqrt3$. Vì $2+\sqrt3$ là nghiệm nên $A+B\sqrt3=0$. Vì $a, b$ là các số hữu tỉ nên $A=B=0$.

Dựa vào kết quả trên bảng tính, ta có $$\left\{\begin{array}{l}A=362+97a+26b-30.7+30.2-6=0\\ B=209+56a+15b-30.4+30.1=0\end{array}\right.$$

Giải hệ phương trình trên máy tính:
 

Vậy $$a=-4, b=7$$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.