Tìm k chữ số cuối cùng của số a^n trên bảng tính.

Bài toán: Tìm $k$ chữ số cuối cùng của số $a^n$, trong đó $k$ là một số tự nhiên (tối đa $k=5$), $a$ là một số nguyên (đôi khi ta gặp $a$ là số nguyên tố) tối đa bằng $19$ và $n$ là số năm từ $2017$ đến tối đa là $2030$ (các năm thi HSG MTCT TP HCM).

 

Chú ý: Nếu $a>19$ và $n>2030$ thuật toán sẽ phức tạp hơn, không phù hợp với bậc THCS.
 

Để HỌC SINH và GV có thể hiểu được thuật toán chạy trên bảng tính, chúng tôi giải thích cách thực hiện thông qua một ví dụ đơn giản chạy trên màn hình tính toán thông thường (Calculate):

Ví dụ: Tìm 5 chữ số cuối cùng của số $2^{2024}$

 

GIẢI

 

Ta có: fb1a. Vậy $2024=2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+8$.
 

Do đó:
$$2^{2024}=\underbrace{2^{2^5}.2^{2^6}.2^{2^7}.2^{2^8}.2^{2^9}.2^{2^{10}}}_{\text{số sau là bình phương của số trước}}.2^8$$

$2^{2^5}\equiv 67296$ fb1b (tự động lưu R vào biến nhớ F.)

$2^{2^6}\equiv 51616$ fb1c

$2^{2^7}\equiv 11456$ fb1d (chỉ cần bấm OK/EXE)

$2^{2^8}\equiv 39936$ fb1e (chỉ cần bấm OK/EXE)

$2^{2^9}\equiv 84096$ fb1f (chỉ cần bấm OK/EXE)

$2^{2^{10}}\equiv 37216$ fb1g (chỉ cần bấm OK/EXE)

$2^8\equiv 256$ fb1h

 

Lấy hai thừa số đầu tiên nhân cho nhau, tìm dư của phép chia cho $10^5$: fb2a

Nhân tiếp cho thừa số thứ ba: fb2b

Nhân tiếp cho thừa số thứ tư: fb2c

Nhân tiếp cho thừa số thứ năm: fb2d

Nhân tiếp cho thừa số thứ sáu: fb2e

Nhân tiếp cho thừa số cuối cùng và nhận đáp số: fb2f

 

Lưu ý: Ở đây $2^{32}$ không quá lớn nên ta bắt đầu từ đây. Tuy nhiên ví dụ $19^{32}$ sẽ cực lớn không sử dụng được, nên ta sẽ tìm đồng dư của nó thông qua $19^4, 19^{8}, 19^{16}$ rồi mới có đồng dư với $19^{32}$ bằng cách bình phương (phần dư) của số đứng trước.

 

 

 

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Trao đổi chuyên môn: Phần nguyên của số $(2+\sqrt{3})^{32}$

Bài viết này nhằm trao đổi chuyên môn với các thầy cô phụ trách đội …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết