Giải bài toán hệ phương trình đồng dư kỳ thi năm 2016 (TP HCM)

Xét hệ phương trình đồng dư:
$$\left\{\begin{array}{ll}
x \equiv 5 &(\text{mod}\ 17 )\\
x \equiv 11 &(\text{mod}\ 29 )\\
x \equiv 25 &(\text{mod}\ 43 )\\
\end{array} \right.$$

Vì nên hệ phương trình nghiệm duy nhất
 

trong đó: $z_1, z_2, z_3$ lần lượt là nghịch đảo theo mô-đu-lô 17 của $29.43$, nghịch đảo theo mô-đu-lô 29 của $43.17$ và nghịch đảo theo mô-đu-lô 43 của $17.29$.

Thực hiện như dã hướng dẫn ta tìm được $z_1=3, z_2=5, z_3=-15+43=28$:

Vậy $x=5.29.43.3+11.43.17.5+25.17.29.28+17.29.43k$
 

Lưu $5.29.43.3+11.43.17.5+25.17.29.28$ vào A và $17.29.43$ vào B:

Vì $x$ nhỏ nhất có 10 chữ số $⇒ x\geqslant 10^9$ nên $k\geqslant \dfrac{10^{9}-A}{B}$

Vậy $k=47153$.

Kết luận: Số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số thoả yêu cầu của bài toán là

Xét hệ phương trình đồng dư:
$$\left\{\begin{array}{ll}
x \equiv 1 &(\text{mod}\ 19 )\\
x \equiv 21 &(\text{mod}\ 23 )\\
x \equiv 34 &(\text{mod}\ 41 )\\
\end{array} \right.$$

$$z_1=8, z_2=-8+23=15, z_3=-3+43=38$$

$$x=1.23.41.8+21.19.41.15+34.19.23.38+19.23.41k$$

Vì $x \geqslant 10^9$ nên $k \geqslant $ . Vậy $k=55768$.
 

Số cần tìm là $x=$
 
 

Xét hệ phương trình đồng dư:
$$\left\{\begin{array}{ll}
x \equiv 2 &(\text{mod}\ 11 )\\
x \equiv 3 &(\text{mod}\ 17 )\\
x \equiv 4 &(\text{mod}\ 23 )\\
\end{array} \right.$$
$\qquad x=2.17.23z_1+3.23.11z_2+4.11.17z_3+ 11.17.23k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$$z_1=2, \quad z_2=8, \quad z_3=8$$

Lưu $2.17.23.2+3.23.11.8+4.11.17.8$ vào A,$11.17.23$ vào B
 

Vì $x$ lớn nhất có 10 chữ số nên $x \leqslant 10^{10}-1 ⇔ k \leqslant \dfrac{10^{10}-1-A}{B}$ .

Vậy $k$ lớn nhất là bằng $2325037$.
 

Kết luận: Số $x$ cần tìm là
 
 

Xét hệ phương trình đồng dư:
$$\left\{\begin{array}{ll}
x \equiv 3 &(\text{mod}\ 13 )\\
x \equiv 3 &(\text{mod}\ 37 )\\
x \equiv 4 &(\text{mod}\ 29 )\\
\end{array} \right.$$

$\qquad x=3.37.29z_1+3.29.13z_2+4.13.37z_3 + 13.37.29k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Lưu $3.37.29.2+3.29.13.16+4.13.37.12$ vào A, $13.37.29$ vào B.
 

Vì $x$ nhỏ nhất có 11 chữ số nên $x \geqslant 10^{10} ⇔ k \geqslant \dfrac{10^{10}-A}{B}$

Vậy $k=716894$. Do đó số $x$ càn tìm là , nghĩa là $x=10000002028$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.