Trao đổi chuyên môn: Phần nguyên của số $(2+\sqrt{3})^{32}$

Bài viết này nhằm trao đổi chuyên môn với các thầy cô phụ trách đội tuyển HSG MTCT cấp THCS, không phải là bài học.

Sau đây là lời giải của bài thi nói trên thực hiện trên máy tính casio fx-880BTG.
 

Máy tính xuất kết quả ra một số nguyên có 19 chữ số. Điều này không phù hợp vì $(2+\sqrt3)^{32}$ là một số vô tỉ có dạng $A+B\sqrt3,\ (A, B \in \mathbb{N}^*)$, nghĩa là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.   Có hai khả năng máy tính đã làm tròn (mà ta không biết khả năng nào) là:   1. Ba chữ số cuối cùng của phần nguyên là 113 và phần thập phân là một loạt ít nhất 4 chữ số 9 (vì phần nguyên có 19 chữ số và máy tính hiển thị được 23 chữ số). Khi đó theo hiệu ứng đô-mi-nô các số 9 này sẽ được làm tròn thành một loạt số 0 để phần nguyên tăng lên một đơn vị và quy tròn thành số nguyên.   2. Ba chữ số cuối cùng của phần nguyên là 114 và phần thập phân là một loạt ít nhất 4 chữ số 0 trước khi gặp một chữ số khác 0. Nếu xảy ra trường hợp này thì $(2+\sqrt3)^{32} >2005956546822746114$.

Bây giờ ta chứng minh trường hợp 2 không xảy ra.

Mở một bảng tính, nhâp $2$ vào $A_1$ và $\sqrt3$ vào $B_1$.

Thuật toán sau đây sẽ tính $(2+\sqrt3)^n$.

Đưa con trỏ tới $A_2, B_2$ điền công thức, phạm vi đến $A_6, B_6$: .

Kết quả $(2+\sqrt3)^{32}=\underbrace{A_5^2+B_5^2}_{=A_6}+\underbrace{2A_5B_5}_{=B_6}$ ở dòng 6 :, lưu $A_6$ vào biến A

Ta có: $a^2+b^2 \geqslant 2ab$, xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi $a=b$. Do đó:

$(2+\sqrt3)^{32}=A_5^2+B_5^2 + 2A_5B_5<2(A_5^2+B_5^2)=2A_6=2\times 1002978273411373057=2005956546822746114$
 
Chú ý: $A_6=A_5^2+B_5^2$ là số nguyên và giá trị đúng của nó như trên.

Do đó trường hợp 2 bị loại.
 
Tham khảo:$$(2+\sqrt3)^{32}=2005956546822746113,\underbrace{999999999999999999}_{18 \text{chữ số}\ 9 }50148\dots$$

 

Tham khảo: $$(2+\sqrt3)^{33}=7486331750517906051,\underbrace{999999999999999999}_{18\ \text{chữ số}\ 9}86642323\dots $$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.