MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG ĐỀ THI HSG MÁY TÍNH CẦM TAY- PHẦN 2

Bài 4. Tính gần đúng \[A={{10}^{6}}\left( \dfrac{1}{3}C_{2015}^{0}-\dfrac{1}{5}C_{2015}^{1}+\dfrac{1}{7}C_{2015}^{2}-\dfrac{1}{9}C_{2015}^{3}+…-\dfrac{1}{4033}C_{2015}^{2015} \right)\].

Hướng dẫn giải

Ta có \[{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2015}}=C_{2015}^{0}-C_{2015}^{1}{{x}^{2}}+C_{2015}^{2}{{x}^{4}}-…-C_{2015}^{2015}{{x}^{4030}}\]

Suy ra \[{{x}^{2}}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2015}}=C_{2015}^{0}{{x}^{2}}-C_{2015}^{1}{{x}^{4}}+C_{2015}^{2}{{x}^{6}}-…-C_{2015}^{2015}{{x}^{4032}}\]

Do đó \[\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2015}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( C_{2015}^{0}{{x}^{2}}-C_{2015}^{1}{{x}^{4}}+C_{2015}^{2}{{x}^{6}}-…-C_{2015}^{2015}{{x}^{4032}} \right)}dx\]

Suy ra \[A={{10}^{6}}.\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2015}}dx}\approx 4,894388\]

image006

Bài 5. Khai triển

${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+…+{{x}^{2015}} \right)}^{3}}$ thành ${{A}_{0}}+{{A}_{1}}x+…+{{A}_{2015}}{{x}^{2015}}+…+{{A}_{6045}}{{x}^{6045}}$

Tính hệ số ${{A}_{2015}}$ của ${{x}^{2015}}$.

Hướng dẫn giải

Khi khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+…+{{x}^{2015}} \right)}^{3}}$ , số hạng chứa ${{x}^{2015}}$  là:

${{x}^{0}}{{x}^{0}}{{x}^{2015}}+{{x}^{0}}{{x}^{2015}}{{x}^{0}}+{{x}^{2015}}{{x}^{0}}{{x}^{0}}+{{x}^{0}}{{x}^{1}}{{x}^{2014}}+{{x}^{0}}{{x}^{2014}}{{x}^{1}}+{{x}^{1}}{{x}^{0}}{{x}^{2014}}+{{x}^{1}}{{x}^{2014}}{{x}^{0}}+{{x}^{2014}}{{x}^{0}}{{x}^{1}}+{{x}^{2014}}{{x}^{1}}{{x}^{0}}+…$

Mỗi thành phần trong số hạng chứa ${{x}^{2015}}$ có hệ số bằng 1 và có dạng ${{x}^{m}}.{{x}^{n}}.{{x}^{k}}$, trong đó:

$$\left\{ \begin{align}  & m,n,k\in \left\{ 0;1;2;3;…;2015 \right\} \\  & m+n+k=2015 \\ \end{align} \right.$$

Cần tìm số các bộ số $\left( m;n;k \right)$  thỏa mãn điều kiện trên, đó cũng là hệ số của ${{x}^{2015}}$.

Ta chia làm các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Nếu $m=0$  thì $(n;k)$  thỏa mãn bài toán này là: $(0;2015),(1;2014),(2;2013),…,(2015;0)$, suy ra có 2016 bộ số $\left( m;n;k \right)$.

+ Trường hợp 2: Nếu $m=1$  thì $(n;k)$  thỏa mãn bài toán này là: $(0;2014),(1;2013),(2;2012),…,(2014;0)$, suy ra có 2015 bộ số $\left( m;n;k \right)$.

+ Trường hợp 3: Nếu $m=2$  thì $(n;k)$  thỏa mãn bài toán này là: $(0;2013),(1;2012),(2;2011),…,(2013;0)$, suy ra có 2016 bộ số $\left( m;n;k \right)$.

+ Trường hợp 2015: Nếu $m=0$  thì $(n;k)$  thỏa mãn bài toán này là:

$(0;0)$ , suy ra có 1 bộ số $\left( m;n;k \right)$.

Vậy có: $1+2+3+…+2016=\dfrac{2016\times 2017}{2}=2.033.136$

Bộ số $\left( m;n;k \right)$thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra ${{A}_{2015}}=2.033.136$

Chia sẻ

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

Capture

ỨNG DỤNG KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ THCS

Trong bài viết này, Diễn đàn muốn chia sẻ đến bạn đọc một vài bài …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết