Sử dụng phương pháp đặt hai ẩn phụ giải hệ phương trình vô tỉ

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=4 & & \\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+5}=6 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]x,y\geqslant 0[/latex]

Cộng vế theo vế các phương trình ta có

[latex]\left ( \sqrt{2x+5}+\sqrt{2x} \right )+\left ( \sqrt{2y+5}+\sqrt{2y} \right )=10[/latex]

Trừ vế theo vế các phương trình và sử dụng biểu thức liên hợp [latex]\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/latex] ta có

[latex]\frac{5}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}}+\frac{5}{\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}}=2[/latex]

Đặt [latex]a=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}, b=\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}[/latex] thu được hệ phương trình sau:

[latex]\left\{\begin{matrix} a+b=10 & & \\ \frac{5}{a}+\frac{5}{b}=2 & & \end{matrix}\right.[/latex][latex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=5 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}-5[/latex] trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}>0\left ( \forall x\in \left ( 0;+\infty \right ) \right )[/latex]

Suy ra hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]

Do đó phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]

Mà [latex]f\left ( 2 \right )=0\Rightarrow x=2[/latex]

Vậy nghiệm của hệ đã cho là [latex]x=y=2[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

article 14

Giải câu 48 đề minh họa 2021

Không làm mất tính tổng quát ta có thể tịnh tiến theo trục hoành sao …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết