BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Sử dụng phương pháp đặt hai ẩn phụ giải hệ phương trình vô tỉ
- 10/11/2017
- 250 lượt xem
Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
[latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=4 & & \\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+5}=6 & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải: Điều kiện [latex]x,y\geqslant 0[/latex]
Cộng vế theo vế các phương trình ta có
[latex]\left ( \sqrt{2x+5}+\sqrt{2x} \right )+\left ( \sqrt{2y+5}+\sqrt{2y} \right )=10[/latex]Trừ vế theo vế các phương trình và sử dụng biểu thức liên hợp [latex]\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/latex] ta có
[latex]\frac{5}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}}+\frac{5}{\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}}=2[/latex]Đặt [latex]a=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}, b=\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}[/latex] thu được hệ phương trình sau:
[latex]\left\{\begin{matrix} a+b=10 & & \\ \frac{5}{a}+\frac{5}{b}=2 & & \end{matrix}\right.[/latex][latex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=5 & & \end{matrix}\right.[/latex]Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}-5[/latex] trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}>0\left ( \forall x\in \left ( 0;+\infty \right ) \right )[/latex]
Suy ra hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]
Do đó phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]
Mà [latex]f\left ( 2 \right )=0\Rightarrow x=2[/latex]
Vậy nghiệm của hệ đã cho là [latex]x=y=2[/latex]
About casiobitex
