Sử dụng phương pháp đặt hai ẩn phụ giải hệ phương trình vô tỉ

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=4 & & \\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+5}=6 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]x,y\geqslant 0[/latex]

Cộng vế theo vế các phương trình ta có

[latex]\left ( \sqrt{2x+5}+\sqrt{2x} \right )+\left ( \sqrt{2y+5}+\sqrt{2y} \right )=10[/latex]

Trừ vế theo vế các phương trình và sử dụng biểu thức liên hợp [latex]\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/latex] ta có

[latex]\frac{5}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}}+\frac{5}{\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}}=2[/latex]

Đặt [latex]a=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}, b=\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}[/latex] thu được hệ phương trình sau:

[latex]\left\{\begin{matrix} a+b=10 & & \\ \frac{5}{a}+\frac{5}{b}=2 & & \end{matrix}\right.[/latex][latex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=5 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}-5[/latex] trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}>0\left ( \forall x\in \left ( 0;+\infty \right ) \right )[/latex]

Suy ra hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]

Do đó phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]

Mà [latex]f\left ( 2 \right )=0\Rightarrow x=2[/latex]

Vậy nghiệm của hệ đã cho là [latex]x=y=2[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Lại nói về việc vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Một trong các yêu cầu thiết thực của việc giải trắc nghiệm HHKG đó là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết