Sử dụng phương pháp đặt hai ẩn phụ giải hệ phương trình vô tỉ
- 10/11/2017
- 254 lượt xem
Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
[latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=4 & & \\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+5}=6 & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải: Điều kiện [latex]x,y\geqslant 0[/latex]
Cộng vế theo vế các phương trình ta có
[latex]\left ( \sqrt{2x+5}+\sqrt{2x} \right )+\left ( \sqrt{2y+5}+\sqrt{2y} \right )=10[/latex]Trừ vế theo vế các phương trình và sử dụng biểu thức liên hợp [latex]\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}[/latex] ta có
[latex]\frac{5}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}}+\frac{5}{\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}}=2[/latex]Đặt [latex]a=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}, b=\sqrt{2y+5}+\sqrt{2y}[/latex] thu được hệ phương trình sau:
[latex]\left\{\begin{matrix} a+b=10 & & \\ \frac{5}{a}+\frac{5}{b}=2 & & \end{matrix}\right.[/latex][latex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=5 & & \end{matrix}\right.[/latex]Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x}-5[/latex] trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}>0\left ( \forall x\in \left ( 0;+\infty \right ) \right )[/latex]
Suy ra hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]
Do đó phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc [latex]\left [ 0;+\infty \right )[/latex]
Mà [latex]f\left ( 2 \right )=0\Rightarrow x=2[/latex]
Vậy nghiệm của hệ đã cho là [latex]x=y=2[/latex]