Giải hệ phương trình trên tập số thực

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )\left ( y+\sqrt{y^{2}+1} \right )=1 & & \\ y+\frac{y}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{35}{12}=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]x^{2}-1>0[/latex]

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

[latex]x+\sqrt{x^{2}+1}=\left ( -y \right )+\sqrt{\left ( -y \right )^{2}+1}[/latex]

Hàm số [latex]f\left ( t \right )=t+\sqrt{t^{2}+1}[/latex] đồng biến trên [latex]R[/latex] nên [latex]f\left ( x \right )=f\left ( -y \right )\Rightarrow x=-y[/latex]

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình:

[latex]x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12}[/latex]

Ta chỉ cần xét trường hợp [latex]x>1[/latex]

Bình phương hai vế ta có

[latex]x^{2}+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=\left ( \frac{35}{12} \right )^{2}\Leftrightarrow \frac{x^{4}}{x^{2}-1}+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}-\left ( \frac{35}{12} \right )^{2}=0[/latex]

Tìm được [latex]x=\frac{5}{3}\vee x=\frac{5}{4}[/latex]

Nghiệm của hệ đã cho là [latex]\left ( x;y \right )=\left ( \frac{5}{4} ;-\frac{5}{4}\right ), \left ( \frac{5}{3} ,-\frac{5}{3}\right )[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng Geogebra giải toán Ứng dụng toán học vào tài chính

Chuyên đề 12 – ứng dụng toán học vào tài chánh BÀI 1: PHẦN CHUẨN …