BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Sử dụng điều kiện có nghiệm và hàm số để giải hệ phương trình
- 09/11/2017
- 297 lượt xem
Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
[latex]\left\{\begin{matrix} \left ( 2x^{2}-1 \right )\left ( 2y^{2} -1\right )=\frac{7xy}{2} & & \\ x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải:
Từ phương trình thứ hai của hệ, coi [latex]x[/latex] là ẩn chính
[latex]x^{2}+\left ( y-7 \right )x+y^{2}-6y+14=0[/latex]Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi [latex]\left ( y-7 \right )^{2}-4\left ( y^{2}-6y+14 \right )\geqslant 0\Leftrightarrow 1\leqslant y\leqslant \frac{7}{3}[/latex]
Tương tự, ta cũng có [latex]2\leqslant x\leqslant \frac{10}{3}[/latex]
Viết phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng [latex]\left ( 2x-\frac{1}{x} \right )\left ( 2y-\frac{1}{y} \right )=\frac{7}{2}[/latex]
Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=2x-\frac{1}{x}[/latex] trên [latex]\left [ 2; \frac{10}{3} \right ][/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=2+\frac{1}{x^{2}}>0\left ( \forall x\in \left [ 2;\frac{10}{3} \right ] \right )[/latex]
Suy ra [latex]\frac{7}{2}\leqslant 2x-\frac{1}{x}\leqslant \frac{191}{30} \left ( 1 \right )[/latex]
Tương tự, ta cũng có [latex]1\leqslant 2y-\frac{1}{y}\leqslant \frac{89}{21} \left ( 2 \right )[/latex]
Từ [latex]\left ( 1 \right )[/latex] và [latex]\left ( 2 \right )[/latex] suy ra [latex]\left ( 2x-\frac{1}{x} \right )\left ( 2y-\frac{1}{y} \right )\geqslant \frac{7}{2}[/latex]
Đẳng thức xảy ra khi [latex]x=2,y=1[/latex]
Thử lại hệ phương trình không thỏa mãn nên hệ đã cho vô nghiệm.
About casiobitex
