Sử dụng điều kiện có nghiệm và hàm số để giải hệ phương trình

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} \left ( 2x^{2}-1 \right )\left ( 2y^{2} -1\right )=\frac{7xy}{2} & & \\ x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải:

Từ phương trình thứ hai của hệ, coi [latex]x[/latex] là ẩn chính

[latex]x^{2}+\left ( y-7 \right )x+y^{2}-6y+14=0[/latex]

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi [latex]\left ( y-7 \right )^{2}-4\left ( y^{2}-6y+14 \right )\geqslant 0\Leftrightarrow 1\leqslant y\leqslant \frac{7}{3}[/latex]

Tương tự, ta cũng có [latex]2\leqslant x\leqslant \frac{10}{3}[/latex]

Viết phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng [latex]\left ( 2x-\frac{1}{x} \right )\left ( 2y-\frac{1}{y} \right )=\frac{7}{2}[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=2x-\frac{1}{x}[/latex] trên [latex]\left [ 2; \frac{10}{3} \right ][/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=2+\frac{1}{x^{2}}>0\left ( \forall x\in \left [ 2;\frac{10}{3} \right ] \right )[/latex]

Suy ra [latex]\frac{7}{2}\leqslant 2x-\frac{1}{x}\leqslant \frac{191}{30} \left ( 1 \right )[/latex]

Tương tự, ta cũng có [latex]1\leqslant 2y-\frac{1}{y}\leqslant \frac{89}{21} \left ( 2 \right )[/latex]

Từ [latex]\left ( 1 \right )[/latex] và [latex]\left ( 2 \right )[/latex] suy ra [latex]\left ( 2x-\frac{1}{x} \right )\left ( 2y-\frac{1}{y} \right )\geqslant \frac{7}{2}[/latex]

Đẳng thức xảy ra khi [latex]x=2,y=1[/latex]

Thử lại hệ phương trình không thỏa mãn nên hệ đã cho vô nghiệm.

  

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Lại nói về việc vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Một trong các yêu cầu thiết thực của việc giải trắc nghiệm HHKG đó là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết