BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
- 08/11/2017
- 811 lượt xem
Đề bài: giải hệ phương trình sau trên tập số thức:
[latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}-12x-y^{3}+6y^{2}-16=0 & & \\ 4x^{2}+2\sqrt{4-x^{2}}-5\sqrt{4y-y^{2}}+6=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải: Điều kiện [latex]-2\leqslant x\leq 2, 0\leqslant y\leqslant 4[/latex]
Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả x=998
Suy ra [latex]x+2=y[/latex]
Viết lại phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
[latex]\left ( x+2 \right )^{3}-6\left ( x+2 \right )^{2}=y^{3}-3y^{2}[/latex]Xét hàm số [latex]f\left ( t \right )=t^{3}-6t^{2}[/latex] trên đoạn [latex]\left [ 0;4 \right ][/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( t \right )=3t^{2}-12t\leqslant 0\left ( \forall t\in \left [ 0;4 \right ] \right )[/latex]
Suy ra hàm số [latex]f\left ( t \right )[/latex] nghịch biến trên [latex]\left [ 0;4 \right ][/latex]
Do đó, [latex]f\left ( x+2 \right )=f\left ( y \right )\Rightarrow x+2=y[/latex]
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
[latex]4x^{2}+6=3\sqrt{4-x^{2}}\Leftrightarrow 4x^{2}-3\sqrt{4-x^{2}}+6=0[/latex]Hàm số [latex]g\left ( x \right )=4x^{2}-3\sqrt{4-x^{2}}+6[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ -2; 2 \right ][/latex] nên có nhiều nhất một nghiệm thuộc đoạn [latex]\left [ -2; 2 \right ][/latex]
Mà [latex]g\left ( 0 \right )=0[/latex] nên [latex]x=0[/latex]
Với [latex]x=0[/latex] thì [latex]y=2[/latex]
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [latex]\left ( x;y \right )=\left ( 0;2 \right )[/latex]
About casiobitex
