Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Đề bài: giải hệ phương trình sau trên tập số thức:

[latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}-12x-y^{3}+6y^{2}-16=0 & & \\ 4x^{2}+2\sqrt{4-x^{2}}-5\sqrt{4y-y^{2}}+6=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]-2\leqslant x\leq 2, 0\leqslant y\leqslant 4[/latex]

Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả x=998

Suy ra [latex]x+2=y[/latex]

Viết lại phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

[latex]\left ( x+2 \right )^{3}-6\left ( x+2 \right )^{2}=y^{3}-3y^{2}[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( t \right )=t^{3}-6t^{2}[/latex] trên đoạn [latex]\left [ 0;4 \right ][/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( t \right )=3t^{2}-12t\leqslant 0\left ( \forall t\in \left [ 0;4 \right ] \right )[/latex]

Suy ra hàm số [latex]f\left ( t \right )[/latex] nghịch biến trên [latex]\left [ 0;4 \right ][/latex]

Do đó, [latex]f\left ( x+2 \right )=f\left ( y \right )\Rightarrow x+2=y[/latex]

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

[latex]4x^{2}+6=3\sqrt{4-x^{2}}\Leftrightarrow 4x^{2}-3\sqrt{4-x^{2}}+6=0[/latex]

Hàm số [latex]g\left ( x \right )=4x^{2}-3\sqrt{4-x^{2}}+6[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ -2; 2 \right ][/latex] nên có nhiều nhất một nghiệm thuộc đoạn [latex]\left [ -2; 2 \right ][/latex]

Mà [latex]g\left ( 0 \right )=0[/latex] nên [latex]x=0[/latex]

Với [latex]x=0[/latex] thì [latex]y=2[/latex]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [latex]\left ( x;y \right )=\left ( 0;2 \right )[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Lại nói về việc vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Một trong các yêu cầu thiết thực của việc giải trắc nghiệm HHKG đó là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết