Toán lớp 12

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3 & & \\ y-\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x^{2}+y^{2}\neq 0[/latex] Ta có [latex]x-iy+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=3-i.0[/latex] Đặt [latex]z=x+iy[/latex] Khi đó ta có phương trình [latex]\overline{z}+\frac{3z+iz}{z.\overline{z}}=3\Leftrightarrow \overline{z}+\frac{3+i}{z}=3[/latex] [latex]\Leftrightarrow \overline{z}^{2}-3\overline{z}+3+i=0\Leftrightarrow \overline{z}=2-i,\overline{z}=1+i[/latex] Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo bằng nhau nên suy ra …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}[/latex] Bài giải: Với cách thông thường ta đặt [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] và chuyển về dạng hệ đối xứng [latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=2y & & \\ y^{3}+1=2x & & \end{matrix}\right.[/latex] Tuy nhiên bằng phương pháp ánh xạ ngược ta làm như sau: Hàm số [latex]y=\frac{x^{3}+1}{2}[/latex] và [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] là hai hàm số ngược nhau. …

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: [latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex] Bài giải: Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex] Do đó [latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex] Lại có [latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex] Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex] Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng: [latex]\left ( …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]\sqrt[3]{\frac{x^{9}-9x^{2}+1}{3}}=2x+1[/latex] Bài giải: Với những dạng phương trình có chứa số mũ lớn hoặc căn thức phức tạp thường sử dụng các phương pháp: đánh giá, hàm số, nhân lượng liên hợp, chứng minh nghiệm duy nhất… Lập phương hai vế và viết phương trình …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=4 & & \\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+5}=6 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x,y\geqslant 0[/latex] Cộng vế theo vế các phương trình ta có [latex]\left ( \sqrt{2x+5}+\sqrt{2x} \right )+\left ( \sqrt{2y+5}+\sqrt{2y} \right )=10[/latex] Trừ vế theo vế các phương trình và sử dụng biểu thức liên …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3 & & \\ y-\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x^{2}+y^{2}\neq 0[/latex] Ta có [latex]x-iy+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=3-i.0[/latex] Đặt [latex]z=x+iy[/latex] Khi đó ta có phương trình [latex]\overline{z}+\frac{3z+iz}{z.\overline{z}}=3\Leftrightarrow \overline{z}+\frac{3+i}{z}=3[/latex] [latex]\Leftrightarrow \overline{z}^{2}-3\overline{z}+3+i=0\Leftrightarrow \overline{z}=2-i,\overline{z}=1+i[/latex] Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo bằng nhau nên suy ra …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}[/latex] Bài giải: Với cách thông thường ta đặt [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] và chuyển về dạng hệ đối xứng [latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=2y & & \\ y^{3}+1=2x & & \end{matrix}\right.[/latex] Tuy nhiên bằng phương pháp ánh xạ ngược ta làm như sau: Hàm số [latex]y=\frac{x^{3}+1}{2}[/latex] và [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] là hai hàm số ngược nhau. …

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: [latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex] Bài giải: Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex] Do đó [latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex] Lại có [latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex] Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex] Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng: [latex]\left ( …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]\sqrt[3]{\frac{x^{9}-9x^{2}+1}{3}}=2x+1[/latex] Bài giải: Với những dạng phương trình có chứa số mũ lớn hoặc căn thức phức tạp thường sử dụng các phương pháp: đánh giá, hàm số, nhân lượng liên hợp, chứng minh nghiệm duy nhất… Lập phương hai vế và viết phương trình …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=4 & & \\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+5}=6 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x,y\geqslant 0[/latex] Cộng vế theo vế các phương trình ta có [latex]\left ( \sqrt{2x+5}+\sqrt{2x} \right )+\left ( \sqrt{2y+5}+\sqrt{2y} \right )=10[/latex] Trừ vế theo vế các phương trình và sử dụng biểu thức liên …