BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Câu hệ phương trình trong đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên
- 14/11/2017
- 300 lượt xem
Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
[latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải:
Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex]
Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng:
[latex]\left ( x-y \right )\left ( x\left ( x+y \right )^{2}-9 \right )=0[/latex]Từ phương trình thứ hai của hệ nếu [latex]x=y[/latex] thì đẳng thức trở thành [latex]0=9[/latex] (điều này không thể xảy ra)
Suy ra [latex]x\left ( x+y \right )^{2}-9=0\left ( 1 \right )[/latex]
Từ phương trình thứ hai ta có [latex]y=\sqrt[3]{x^{3}+\frac{7}{x}}[/latex] (2)
Thay (2) vào (1) ta có phương trình sau:
[latex]x\left ( x+\sqrt[3]{x^{3}+\frac{7}{x}} \right )^{2}=9[/latex] [latex]\Leftrightarrow x^{3}+2x\sqrt[3]{x^{6}+7x^{2}}+\sqrt[3]{x\left ( x^{4}+7 \right )^{2}}-9=0[/latex]Ta chỉ cần xét trường hợp [latex]x>0[/latex]
Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=x^{3}+2x\sqrt[3]{x^{6}+7x^{2}}+\sqrt[3]{x\left ( x^{4}+7 \right )^{2}}-9[/latex] trên khoảng [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]
Thấy rằng hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]
Do đó, phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]
Mà [latex]f\left ( 1\right )=0[/latex] nên suy ra [latex]x=1[/latex] là nghiệm.
Nghiệm của hệ đã cho là [latex]\left ( x;y \right )=\left ( 1;2 \right )[/latex]
About casiobitex
