Câu hệ phương trình trong đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải:

Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex]

Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng:

[latex]\left ( x-y \right )\left ( x\left ( x+y \right )^{2}-9 \right )=0[/latex]

Từ phương trình thứ hai của hệ nếu [latex]x=y[/latex] thì đẳng thức trở thành [latex]0=9[/latex] (điều này không thể xảy ra)

Suy ra [latex]x\left ( x+y \right )^{2}-9=0\left ( 1 \right )[/latex]

Từ phương trình thứ hai ta có [latex]y=\sqrt[3]{x^{3}+\frac{7}{x}}[/latex] (2)

Thay (2) vào (1) ta có phương trình sau:

[latex]x\left ( x+\sqrt[3]{x^{3}+\frac{7}{x}} \right )^{2}=9[/latex] [latex]\Leftrightarrow x^{3}+2x\sqrt[3]{x^{6}+7x^{2}}+\sqrt[3]{x\left ( x^{4}+7 \right )^{2}}-9=0[/latex]

Ta chỉ cần xét trường hợp [latex]x>0[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=x^{3}+2x\sqrt[3]{x^{6}+7x^{2}}+\sqrt[3]{x\left ( x^{4}+7 \right )^{2}}-9[/latex] trên khoảng [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]

Thấy rằng hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]

Do đó, phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc  [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]

Mà [latex]f\left ( 1\right )=0[/latex] nên suy ra [latex]x=1[/latex] là nghiệm.

Nghiệm của hệ đã cho là [latex]\left ( x;y \right )=\left ( 1;2 \right )[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Giải câu 43 đề thi minh hoạ 2024 Bộ GD và ĐT

  Góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(B’BC)$ là $30^\circ$ và do tam …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết