Toán lớp 12

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |[/latex] Bài giải: Đặt [latex]\overrightarrow{u}=\left ( 1-x;y \right ), \overrightarrow{v}=\left ( 1+x;y \right )[/latex] và áp dụng bất đẳng thức vector [latex]\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{v} \right |\geqslant \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |[/latex] ta có[latex]P\geqslant …

Đề bài: Cho các số thực [latex]x,y,z[/latex] thỏa mãn [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/latex]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz[/latex] Bài giải: Viết lại biểu thức đã cho về dạng [latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )[/latex] Từ đẳng thức [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( xy+yz+zx \right )=\left ( x+y+z \right )^{2}[/latex] Thay vào biểu thức [latex]P[/latex] …

Cho f(x) =  . Tính S =  Diễn đàn trả lời: Tổng được viết lại: $S=f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{2}{2000} \right)+f\left( \dfrac{3}{2000} \right)+…+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right)$ Nhận thấy $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=1$. Có thể thử một vài giá trị bằng máy tính để dự đoán điều này. Vậy [latex]\begin{align} & S=\left[ f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right) \right]+\left[ …

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}.\sqrt{3-x}$ bằng: $\dfrac{9}{{10}}$ $2\sqrt 2 – 1$ $\dfrac{8}{{10}}$ $2\sqrt 2 – 2$ Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS: SHIFT SOLVE cho hàm số $\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 – x}  = \dfrac{9}{{10}}$. Nếu thu được nghiệm …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3 & & \\ y-\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x^{2}+y^{2}\neq 0[/latex] Ta có [latex]x-iy+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=3-i.0[/latex] Đặt [latex]z=x+iy[/latex] Khi đó ta có phương trình [latex]\overline{z}+\frac{3z+iz}{z.\overline{z}}=3\Leftrightarrow \overline{z}+\frac{3+i}{z}=3[/latex] [latex]\Leftrightarrow \overline{z}^{2}-3\overline{z}+3+i=0\Leftrightarrow \overline{z}=2-i,\overline{z}=1+i[/latex] Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo bằng nhau nên suy ra …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}[/latex] Bài giải: Với cách thông thường ta đặt [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] và chuyển về dạng hệ đối xứng [latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=2y & & \\ y^{3}+1=2x & & \end{matrix}\right.[/latex] Tuy nhiên bằng phương pháp ánh xạ ngược ta làm như sau: Hàm số [latex]y=\frac{x^{3}+1}{2}[/latex] và [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] là hai hàm số ngược nhau. …

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |[/latex] Bài giải: Đặt [latex]\overrightarrow{u}=\left ( 1-x;y \right ), \overrightarrow{v}=\left ( 1+x;y \right )[/latex] và áp dụng bất đẳng thức vector [latex]\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{v} \right |\geqslant \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |[/latex] ta có[latex]P\geqslant …

Đề bài: Cho các số thực [latex]x,y,z[/latex] thỏa mãn [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/latex]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz[/latex] Bài giải: Viết lại biểu thức đã cho về dạng [latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )[/latex] Từ đẳng thức [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( xy+yz+zx \right )=\left ( x+y+z \right )^{2}[/latex] Thay vào biểu thức [latex]P[/latex] …

Cho f(x) =  . Tính S =  Diễn đàn trả lời: Tổng được viết lại: $S=f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{2}{2000} \right)+f\left( \dfrac{3}{2000} \right)+…+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right)$ Nhận thấy $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=1$. Có thể thử một vài giá trị bằng máy tính để dự đoán điều này. Vậy [latex]\begin{align} & S=\left[ f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right) \right]+\left[ …

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}.\sqrt{3-x}$ bằng: $\dfrac{9}{{10}}$ $2\sqrt 2 – 1$ $\dfrac{8}{{10}}$ $2\sqrt 2 – 2$ Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS: SHIFT SOLVE cho hàm số $\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 – x}  = \dfrac{9}{{10}}$. Nếu thu được nghiệm …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3 & & \\ y-\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x^{2}+y^{2}\neq 0[/latex] Ta có [latex]x-iy+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=3-i.0[/latex] Đặt [latex]z=x+iy[/latex] Khi đó ta có phương trình [latex]\overline{z}+\frac{3z+iz}{z.\overline{z}}=3\Leftrightarrow \overline{z}+\frac{3+i}{z}=3[/latex] [latex]\Leftrightarrow \overline{z}^{2}-3\overline{z}+3+i=0\Leftrightarrow \overline{z}=2-i,\overline{z}=1+i[/latex] Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo bằng nhau nên suy ra …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}[/latex] Bài giải: Với cách thông thường ta đặt [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] và chuyển về dạng hệ đối xứng [latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+1=2y & & \\ y^{3}+1=2x & & \end{matrix}\right.[/latex] Tuy nhiên bằng phương pháp ánh xạ ngược ta làm như sau: Hàm số [latex]y=\frac{x^{3}+1}{2}[/latex] và [latex]y=\sqrt[3]{2x-1}[/latex] là hai hàm số ngược nhau. …