Bài toán phương trình vô tỉ trong đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Yên

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\sqrt[3]{\frac{x^{9}-9x^{2}+1}{3}}=2x+1[/latex]

Bài giải:

Với những dạng phương trình có chứa số mũ lớn hoặc căn thức phức tạp thường sử dụng các phương pháp: đánh giá, hàm số, nhân lượng liên hợp, chứng minh nghiệm duy nhất…

Lập phương hai vế và viết phương trình đã cho về dạng sau:

[latex]x^{9}+9x^{2}-1=24x^{3}+36x^{2}+18x+3[/latex] [latex]\Leftrightarrow x^{9}+3x^{3}=\left ( 3x+1 \right )^{3}+3\left ( 3x+1 \right )[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( t \right )=t^{3}+3t[/latex] trên [latex]\mathbb{R}[/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( t \right )=3t^{2}+3>0\forall t[/latex] nên hàm số [latex]f\left ( t \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\mathbb{R}[/latex]

Do đó [latex]f\left ( x^{3} \right )=f\left ( 3x+1 \right )\Rightarrow x^{3}=3x+1\Leftrightarrow x^{3}-3x-1=0[/latex] (*)

Xét [latex]-2\leqslant x\leqslant 2[/latex], đặt [latex]2cosa=x, \left ( a\in \left [ 0;\pi \right ] \right )[/latex]

Thay vào phương trình (*) ta được

[latex]8cos^{3}a=6cosa+1\Leftrightarrow 2cos3a=1\Leftrightarrow cos3a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\pm \frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}[/latex]

Mà [latex]a\in \left [ 0;\pi \right ][/latex] nên chọn 3 nghiệm [latex]a=\frac{\pi }{9}, a=\frac{5\pi }{9}, a=\frac{7\pi }{9}[/latex]

Do đó [latex]x=cos\frac{2\pi }{9}, x=cos\frac{5\pi }{9}, x=cos\frac{7\pi }{9}[/latex]

Vì phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên 3 nghiệm trên là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình có các nghiệm [latex]x=cos\frac{2\pi }{9}, x=cos\frac{5\pi }{9}, x=cos\frac{7\pi }{9}[/latex]

  

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

article 14

Giải câu 48 đề minh họa 2021

Không làm mất tính tổng quát ta có thể tịnh tiến theo trục hoành sao …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết