Bài toán tìm cực trị trong đề thi thử THPT Bắc Bình 2015

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

[latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex]

Bài giải:

Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

[latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex]

Do đó

[latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Lại có

[latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex]

Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Vì [latex]\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )[/latex]

nên suy ra  [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{21}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{30}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=30[/latex]

Vậy [latex]P_{min}=30[/latex] khi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng Geogebra giải toán Ứng dụng toán học vào tài chính

Chuyên đề 12 – ứng dụng toán học vào tài chánh BÀI 1: PHẦN CHUẨN …