Bài toán tìm cực trị trong đề thi thử THPT Bắc Bình 2015

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

[latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex]

Bài giải:

Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

[latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex]

Do đó

[latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Lại có

[latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex]

Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Vì [latex]\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )[/latex]

nên suy ra  [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{21}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{30}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=30[/latex]

Vậy [latex]P_{min}=30[/latex] khi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Capture

THỰC HIỆN MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VN X

Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc giải quyết những bài toán số phức còn gặp nhiều hạn chế. Năm bắt được vấn đề đó, Bitex EDU biên soạn tài liệu này nhằm hỗ trợ các em học sinh 12 một số hướng dẫn giải các bài toán số phức trên máy tính Casio fx-580VN X nhằm giúp các em có những sự chuẩn bị tốt nhất trong các kì thi sắp tới.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết