Bài toán tìm cực trị trong đề thi thử THPT Bắc Bình 2015

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

[latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex]

Bài giải:

Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

[latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex]

Do đó

[latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Lại có

[latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex]

Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Vì [latex]\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )[/latex]

nên suy ra  [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{21}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{30}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=30[/latex]

Vậy [latex]P_{min}=30[/latex] khi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Lại nói về việc vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Một trong các yêu cầu thiết thực của việc giải trắc nghiệm HHKG đó là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết