Bài toán tìm cực trị trong đề thi thử THPT Bắc Bình 2015

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

[latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex]

Bài giải:

Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

[latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex]

Do đó

[latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Lại có

[latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex]

Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex]

Vì [latex]\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )[/latex]

nên suy ra  [latex]P\geq \frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}+\frac{21}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{30}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=30[/latex]

Vậy [latex]P_{min}=30[/latex] khi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

article 14

Giải câu 48 đề minh họa 2021

Không làm mất tính tổng quát ta có thể tịnh tiến theo trục hoành sao …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết