1. Năm 2022 $\qquad \sqrt{x+4}+|x|=x^2-(x+4)$

2. Năm 2020 $\qquad \sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}=x+4$

3. Năm 2019 $\qquad 5\sqrt{x-1}-\sqrt{x+7}=3x-4$

4. Năm 2018 $\qquad 4\sqrt{x+3}=1+4x+\dfrac{2}{x}$

5. Năm 2017 $\qquad 2(x+2)\sqrt{3x-1}=3x^2-7x-3$

6. Năm 2016 $\qquad x^2-6x+4+2\sqrt{2x-1}=0$

7. Năm 2015 $\qquad 2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}$

1. Công việc chuẩn bị máy tính Casio fx-880BTG: Cài đặt Digit Separator ON

2. Phương pháp:

Đặt VT $=f(x)$ và VP $=g(x)$ thích hợp lưu vào các biến nhớ f(x), g(x)

Sau đó bình phương hai vế dẫn đến phương trình bậc bốn. Tiếp theo dùng hệ thức Vi-et đưa đến tích của hai phương trình bậc hai.

Tìm các nghiệm và thử lại nghiệm.

Lời giải: Điều kiện: $x>0$, bình phương hai vế phương trình (1):
$$(2x^2+x+3)^2=\left(3x\sqrt{x+3}\ \right)^2 \Leftrightarrow 4x^4-5x^3-14x^2+6x+9=0\quad (2)$$
$$(2)\Leftrightarrow (x^2-x-3)\left(4x^2-x-3\right)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{lll}
x&=&\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\\
x&=&\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\quad \text{(loại)}\\
x&=&1\\
x&=&-\dfrac34 \quad \text{(loại)}
\end{array}
\right.$$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $$x=1, \quad x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$$

Lời giải: $$(1)\Leftrightarrow 2\sqrt{2x-1}=-x^2+6x-4\quad (2)$$

Điều kiện: $-x^2+6x-4\geqslant 0 \Leftrightarrow 3-\sqrt5\leqslant x\leqslant 3+\sqrt5$.

Bình phương hai vế phương trình (2):
$$(2) \Leftrightarrow x^4-12x^3+44x^2-56x+20=0 \Leftrightarrow (x^2-8x+10)(x^2-4x+2)=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{lll}
x&=& 4+ \sqrt6\quad \text{(loại)}\\
x&=&4- \sqrt6\\
x&=&2+\sqrt2\\
x&=&2-\sqrt2\quad \text{(loại)}\\
\end{array}
\right.$$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $$x=4-\sqrt6 \quad \vee \quad x=2+\sqrt2$$

Lời giải: $$(1)\Leftrightarrow 2(x+2)\sqrt{3x-1}=3x^2-7x-3$$

Bình phương hai vế phương trình ta có:
$$9x^4-54x^3-13x^2+10x+25=0
\Leftrightarrow (x^2-7x+5)(9x^2+9x+5=0)=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{lll}
x^2-7x+5&=&0\quad \Leftrightarrow x=\dfrac{7\pm \sqrt{29}}{2}\\
9x^2+9x+5&=&0 \quad \text{(vô nghiệm)}
\end{array}
\right.$$

Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình đã cho ta có:

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $$x=\dfrac{7+\sqrt{29}}{2}$$

Lời giải: $$\qquad 5\sqrt{x-1}-\sqrt{x+7}=3x-4 \quad (1)$$

Bình phương hai vế phương trình ta có:
$$-9x^2+50x-37=10\sqrt{x^2+6x-7}\quad (2)$$

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
$$81x^4-900x^3+3012x^2-4000x+1856=0$$

$$\Leftrightarrow (3x-4)^2(9x^2-76x+116)=0 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{lll}
x&=&\dfrac43\\
x&=&2\\
x&=&\dfrac{58}{9}\end{array}\right.$$

Thay 3 giá trị tìm được ở trên vào phương trình đã cho ta loại $x=\dfrac{58}{9}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $$x=\dfrac{4}{3}\quad ; \quad x=2$$.