Câu hệ phương trình trong đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải:

Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex]

Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng:

[latex]\left ( x-y \right )\left ( x\left ( x+y \right )^{2}-9 \right )=0[/latex]

Từ phương trình thứ hai của hệ nếu [latex]x=y[/latex] thì đẳng thức trở thành [latex]0=9[/latex] (điều này không thể xảy ra)

Suy ra [latex]x\left ( x+y \right )^{2}-9=0\left ( 1 \right )[/latex]

Từ phương trình thứ hai ta có [latex]y=\sqrt[3]{x^{3}+\frac{7}{x}}[/latex] (2)

Thay (2) vào (1) ta có phương trình sau:

[latex]x\left ( x+\sqrt[3]{x^{3}+\frac{7}{x}} \right )^{2}=9[/latex] [latex]\Leftrightarrow x^{3}+2x\sqrt[3]{x^{6}+7x^{2}}+\sqrt[3]{x\left ( x^{4}+7 \right )^{2}}-9=0[/latex]

Ta chỉ cần xét trường hợp [latex]x>0[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=x^{3}+2x\sqrt[3]{x^{6}+7x^{2}}+\sqrt[3]{x\left ( x^{4}+7 \right )^{2}}-9[/latex] trên khoảng [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]

Thấy rằng hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]

Do đó, phương trình [latex]f\left ( x \right )=0[/latex] có nhiều nhất một nghiệm thuộc  [latex]\left ( 0;+\infty \right )[/latex]

Mà [latex]f\left ( 1\right )=0[/latex] nên suy ra [latex]x=1[/latex] là nghiệm.

Nghiệm của hệ đã cho là [latex]\left ( x;y \right )=\left ( 1;2 \right )[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)

  Giả sử ycbt  là tính d(AB, CD) Cách 1: – Tìm một  mặt phẳng …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết