Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức 3 biến

Đề bài: Cho các số thực [latex]x,y,z[/latex] thỏa mãn [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/latex]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz[/latex]

Bài giải:

Viết lại biểu thức đã cho về dạng

[latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )[/latex]

Từ đẳng thức [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( xy+yz+zx \right )=\left ( x+y+z \right )^{2}[/latex]

Thay vào biểu thức [latex]P[/latex] thu được

[latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( 2-\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}-2}{2} \right )[/latex]

Đặt [latex]t=x+y+z[/latex], theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [latex]-\sqrt{6}\leqslant t\leqslant \sqrt{6}[/latex]

Suy ra [latex]P=f\left ( t \right )=t\left ( 2-\frac{t^{2}-2}{2} \right )[/latex]

Xét hàm số [latex]f\left ( t \right )=t\left ( 2-\frac{t^{2}-2}{2} \right )[/latex] trên đoạn [latex]\left [ -\sqrt{6};\sqrt{6} \right ][/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( t \right )=\frac{3}{2}\left ( 2-t^{2} \right )[/latex]

 

[latex]f’\left ( t \right )=0\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{2}[/latex]

Tính các giá trị [latex]f\left ( -\sqrt{6} \right ),f\left ( \sqrt{6} \right ),f\left ( -\sqrt{2} \right ),f\left ( \sqrt{2} \right )[/latex] ta được

[latex]Maxf=f\left ( \sqrt{2} \right )=2\sqrt{2},Minf=f\left ( -\sqrt{2} \right )=-2\sqrt{2}[/latex]

  

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)

  Giả sử ycbt  là tính d(AB, CD) Cách 1: – Tìm một  mặt phẳng …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết