Tập các điểm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

18/04/2018
10,163 lượt xem
Toan.Casio

Bài toán: Tập các giá trị của [latex]m[/latex] để phương trình [latex]4{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x} + {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^x} – m + 2 = 0[/latex]
có đúng hai nghiệm âm phân biệt là:

A. [latex]\left ( -\infty ;2 \right )[/latex]

B. [latex]\left ( 6; 8 \right )[/latex]

C. [latex]\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right).[/latex]

D. [latex]\left ( 6;7 \right )[/latex]

Bài giải

Từ phương trình [latex]4{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x} + {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^x} – m + 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)[/latex]. Đặt [latex]t = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x},{\rm{ }}t > 0[/latex], suy ra [latex]{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^x}}} = \frac{1}{t}[/latex] . Phương trình (1) trở thành [latex]4t + \frac{1}{t}{\rm{ = }}m – 2{\rm{ (2)}}[/latex].

Để (1) có hai nghiệm âm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt nhỏ hơn 1.

Xét hàm số [latex]f\left( t \right) = 4t + \frac{1}{t}[/latex] trên [latex]\left( {0;1} \right)[/latex]. Yêu cầu bài toán tương đương [latex]4 < m – 2 < 5 \Leftrightarrow 6 < m < 7[/latex]. Chọn D.

Giải trên máy tính CASIO để tìm hai nghiệm dương phân biệt từ phương trình

[latex]4t + \frac{1}{t}{\rm{ = }}m – 2 \Leftrightarrow 4{t^2} + \left( {2 – m} \right)t + 1 = 0[/latex]

Bước 1: Nhập vào [latex]m = – 3[/latex] để hoặc loại được A và C (nếu [latex]m = – 3[/latex] bị loại), hoặc loại được B và D (nếu [latex]m = – 3[/latex] thỏa mãn).

Bước 2: Nhập vào máy tính w534=3pp3=1==n=n

thu được hai nghiệm âm nên [latex]m = – 3[/latex] bị loại: