BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Về một bài toán dãy số quy nạp
- 07/01/2024
- 345 lượt xem
| Cho dãy số $\qquad \qquad a_1=0, a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_n+1)\quad \forall n \geqslant 1.$ Tính $a_{2024}$ |
Bằng cách viết khoảng 10 số hạng đầu tiên của dãy, quan sát tử số và mẫu số, từ đó ta dự đoán số hạng tổng quát của dãy là:
| $$a_1=0, \ a_2=\dfrac16,\ a_n=\dfrac{12+\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}k(k+1)^2(k+2)}{n(n+1)^2(n+2)}\quad \forall n \geqslant 3$$ |
Việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học dành cho các bạn học sinh đang học phương pháp này ở lớp 10. Hoặc thực hiện phép chia $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ ta được $\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}$.
Khi đó $a_{2024}=$ 
Muốn biểu diễn kết quả dưới dạng phân số ta chỉ cần tính riêng tử và mẫu. Muốn phân số tối giản ta làm như lớp 6, phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố. Cụ thể
$$a_{2024}=\dfrac{8191127}{20250}$$
PS. Thu gọn công thức đã thiết lập ta có:
| $$a_1=0,\ a_2=\dfrac16, \ a_n=\dfrac{(n-1)(2n+1)}{10(n+1)} $$ |
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
