BÀI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH KỲ THI TUYỂN SINH 10 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

  • 12/06/2023
  • 87 lượt xem
  • thaohlt

Đề bài: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a+b\leq 2$. Chứng minh $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+a}\leq 1$

Lời giải

Ta có $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+a}\leq 1$                                 $(1)$

$\Leftrightarrow a^{2}(b^{2}+a)+b^{2}(a^{2}+b)\leq (a^{2}+b)(b^{2}+a)$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+a^{3}+a^{2}b^{2}+b^{3}\leq a^{2}b^{2}+b^{3}+a^{3}+ab$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}-ab\leq 0$

$\Leftrightarrow ab(ab-1)\leq 0$

Vì $a,b\geq 0\Rightarrow ab-1\leq 0\Leftrightarrow ab\leq 1$                           $(2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương $a$ và $b$

Ta có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$

mà $a+b\leq 2$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\leq 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq 1$

$\Leftrightarrow ab\leq 1$

$\Rightarrow$ bất phương trình $(2)$ được chứng minh $\Rightarrow$ bất phương trình $(1)$ được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=1$

 

 

Chia sẻ

About Toanbitexdtgd1

Toanbitexdtgd1

Bài Viết Tương Tự

SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX-880BTG GIẢI BÀI TOÁN DÃY SỐ TRUY HỒI TRONG ĐỀ THI HSG MTCT

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1=1,u_2=2,u_3=3$ và $u_n=2u_{n-1}+3u_{n-2}-u_{n-3}+n^2 (n\geq 4)$. Tính (ghi kết …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết