BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
BÀI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH KỲ THI TUYỂN SINH 10 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
- 12/06/2023
- 86 lượt xem
Đề bài: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a+b\leq 2$. Chứng minh $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+a}\leq 1$
Lời giải
Ta có $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+a}\leq 1$ $(1)$
$\Leftrightarrow a^{2}(b^{2}+a)+b^{2}(a^{2}+b)\leq (a^{2}+b)(b^{2}+a)$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+a^{3}+a^{2}b^{2}+b^{3}\leq a^{2}b^{2}+b^{3}+a^{3}+ab$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}-ab\leq 0$
$\Leftrightarrow ab(ab-1)\leq 0$
Vì $a,b\geq 0\Rightarrow ab-1\leq 0\Leftrightarrow ab\leq 1$ $(2)$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương $a$ và $b$
Ta có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
mà $a+b\leq 2$
$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\leq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq 1$
$\Leftrightarrow ab\leq 1$
$\Rightarrow$ bất phương trình $(2)$ được chứng minh $\Rightarrow$ bất phương trình $(1)$ được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=1$
Chia sẻ
About Toanbitexdtgd1
