BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Đặc điểm của khối tứ diện khi biết trước độ dài của 6 cạnh
- 20/12/2021
- 532 lượt xem
Đặt vấn đề: Khi ta gặp một khối tứ diện với độ dài 6 cạnh không có tính chất gì đặc biệt (chẳng hạn không có ba cạnh nào bằng nhau mà cùng đi qua 1 đỉnh, không có cạnh nào vuông góc với mặt phẳng đi qua 3 đỉnh còn lại v.v…) thì ta có các công thức hữu ích sau đây để trả lời câu trắc nghiệm VDC (thường là từ câu 45 -50).
- Thể tích $V$ của khối tứ diện đó.
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đó.
- Góc tạo bởi hai cạnh đối diện.
- Khoảng cách ngắn nhất của hai cạnh đối diện.
Các công thức 1 và 2 chúng tôi đã trình bày nhiều lần, chẳng hạn trong quyển sách “Giải nhanh bài thi trắc nghiệm môn Toán trên MTCT Casio fx-580 VNX”. Trên diễn đàn này chúng tôi giới thiệu và chứng minh hai công thức còn lại.
3) Góc tạo bởi hai cạnh AB và CD
$\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{AB.CD}=\dfrac{(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CD}}{cf}$
$=\dfrac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{CD}\right)^2+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}}{cf}=\dfrac{d^2+f^2-b^2-2f^2+f^2+a^2-e^2}{2cf}$
Vậy:
| $$\cos(AB,CD)=\dfrac{\left|a^2+d^2-b^2-e^2\right|}{2cf}$$ |
4) Khoảng cách $d(AB,CD)$
Áp dụng công thức tính thế tích
$$V_{ABCD}=\dfrac16.AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD)$$
Suy ra
| $$d(AB,CD)=\dfrac{6V_{ABCD}}{AB.CD.\sin(AB,CD)}=\dfrac{12V_{ABCD}}{\sqrt{4c^2f^2-(a^2+d^2-b^2-e^2)^2}}$$ |
Đây là đề thi thử Chuyên Vinh lần 3 năm 2019
Giải:
Ngoài phương pháp truyền thống:
- Đo độ dài đoạn vuông góc chung
- Tính khoảng cách từ 1 điểm trên đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và có cặp vectơ chỉ phương là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
- Dùng tích hỗn tạp và độ dài của tích có hướng
Hôm nay ta biết thêm một cách nữa đó là xét tứ diện $SBCM$ với 6 cạnh như sau:
- $SC=\sqrt{14}a, BM=\sqrt2 a$
- $SB=\sqrt{13}a, CM=a$
- $SM=\sqrt{11}a, BC=a$
Áp dung công thức vừa chứng minh, thao tác trên MTCT Casio fx-580 VNX ta có:
About TS. Nguyễn Thái Sơn
