BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Khoảng cách giữa đường thẳng và đường tròn
- 01/01/2023
- 800 lượt xem
| Cho các số thực $a, b, m, n$ thay đổi sao cho $2m+n<0$ và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $$\log_2(a^2+b^2+9)=1+\log_2(3a+2b)\quad (1)$$ và $\qquad \qquad \qquad \qquad 9^{-m}.3^{-n}.3^{-\dfrac{4}{2m+n}}+\ln\big[(2m+n+2)^2+1\big]=81.\quad (2)$
Tính GTNN của biểu thức $P=\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}$ |
GIẢI
$(1)\Leftrightarrow \log_2(a^2+b^2+9)=\log_2(6a+4b) \Leftrightarrow a^2+b^2-6a-4b+9=0$.
Vậy điểm có tọa độ $(a;b)$ nằm trên đường tròn $x^2+y^2-6x-4y+9=0$, đường tròn này có tâm $I(3;2)$ bán kính $R=2$.
$(2) \Leftrightarrow 3^{-(2m+n)-\dfrac{4}{2m+n}}+\ln\big[(2m+n+2)^2+1\big]=81$.
Vì $2m+n<0$ nên $-(2m+n) > 0$. Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$$-(2m+n)+ \dfrac{4}{-(2m+n)} \geqslant 2\sqrt{4}=4$$
Vậy $3^{-(2m+n)-\dfrac{4}{2m+n}} \geqslant 81$.
Ngoài ra $\ln((2m+n+2)^2+1) \geqslant 0$ (do $(2m+n+2)^2+1 \geqslant 1$). Vậy
$$3^{-(2m+n)-\dfrac{4}{2m+n}}+\ln\big[(2m+n+2)^2+1\big]\geqslant 81$$
Vì đề bài cho xảy ra dấu “bằng” nên BĐT Cauchy xảy ra dấu “bằng”, nghĩa là:$$-(2m+n)=\dfrac{4}{-(2m+n)}\Leftrightarrow 2m+n=-2\quad \text{do}\ 2m+n<0$$
Vậy điểm có tọa độ $(m;n)$ nằm trên đường thẳng $2x+y+2=0 \quad (d)$.
$P=\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}$ là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đến một điểm bất kỳ trên đường thẳng.
ycbt $\Leftrightarrow P_{\min} = d(I,d)-R=2\sqrt5-2$
About TS. Nguyễn Thái Sơn
