Giải bài toán Hình học của Thầy Đang Nguyễn

Nhìn hình vẽ không nghĩ bài toán làm khó nhau đến thế.

Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tính BC/AD.
Không biết có bao nhiêu người làm được bài này?
P/s tỷ số này họ hàng với tỷ số vàng

———————————————————————–

Chọn hệ trục toạ độ gốc $B$ tia $Bx$ đi qua đỉnh bên phải của hình vuông và tia $By$ đi qua $A$, chọn cạnh hình vuông làm 1 (đvd).

Áp dụng công thức tìm toạ độ tâm đường tròn  nội tiếp ta có tâm $I\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2};\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right)$.

Phương trình đường tròn $$\left(x-\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right)^2-\dfrac{7-3\sqrt5}{2}=0\qquad (1)$$

Khi đó $AD^2=\dfrac14$ (thay toạ độ điểm $A\left(0;\dfrac12\right)$ vào vế trái phương trình (1)).

phương trình đường thẳng $AC$ theo đoạn chắn là $x+2y=1 \qquad (2)$.

Giải hệ phương trình (1) (2) ta được $x_C=\dfrac{\sqrt5+2}{5}$.

$BC^2=x_C^2+y_C^2=\left(\dfrac{3\sqrt5-5}{2}\right)x_C=\dfrac{\sqrt5+5}{10}$.

Vậy $\dfrac{BC}{AD}=2BC=\sqrt{2\left(1+\dfrac{\sqrt5}{5}\right)}$.

PS. Việc thu gọn các căn thức để cho kết quả đẹp được thực hiện trên máy tính casio fx-580 VNX. 

Một cách khác tính $BC^2$ như sau: $y_C=\dfrac{1-x_C}{2}=\dfrac{3-\sqrt5}{10}$
Vậy $x_C^2+y_C^2=\dfrac{9+4\sqrt5}{25}+\dfrac{14-6\sqrt5}{100}=\dfrac{5+\sqrt5}{10}$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.