Câu 47 (mã đề 101), chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\mathbf{y \geqslant 10}$.

Trên Diễn đàn này chúng tôi đã chỉ ra nghiệm cụ thể khi $y=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Khi $y=0$ phương trình có hai nghiệm $x=0; x=3$ không thuộc khoảng $\left(\dfrac13;3\right)$.

Khi $y=-2$ hay $y= -1$ phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(\dfrac13;3\right)$ (thực ra nghiệm đó là duy nhất).
Bây giờ ta chứng minh khi $y \geqslant 10$ phương trình không có nghiệm trên khoảng $\left(\dfrac13;3\right)$.

Ta có $f(x)=3x^2+(y-9)x-\log_{27}(1+yx)$.

$f'(x)=6x+y-9-\dfrac{y}{(1+yx)\ln27}$

Lấy đạo hàm của $f'(x)$ ta có:
$$f”(x)=6+\dfrac{yx}{(1+yx)^2\ln^227}> 0 \quad \forall x >\dfrac13$$

Vậy $f'(x)$ là hàm số đơn điệu tăng, do dó $f'(x)>f’\left(\dfrac13\right)=g(y)=y-7-\dfrac{3y}{(3+y)\ln 27}$

Ta có $g'(y)=1-\dfrac{9}{((3+y)\ln 27)^2}\geqslant 1-\dfrac{9}{(13\ln 27)^2}>0$ (vì $y\geqslant 10$)

Vậy $f(x)$ là hàm đơn điệu tăng trên khoảng $\left(\dfrac13;3\right)$.

Do đó $f(x)>f\left(\dfrac13\right)=h(y)=\dfrac13+\dfrac{y-9}{3}-\log_{27}(1+\dfrac{y}{3})$

Ta có $h'(y)=\dfrac13-\dfrac{1}{(3+y)\ln 27} \geqslant$ $>0$. Vậy $h(y)$ là hàm đơn điệu tăng nên $h(y) \geqslant h(10)=$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).