Số hạng tổng quát của dãy số quy nạp

Nhiều năm trước đây, nhiều giáo viên đã có những nghiên cứu thú vị về việc xây dựng một dãy số quy nạp trong đó mỗi số hạng dựa vào hai số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một biểu thức, ví dụ nghiên cứu của Thầy Nguyễn Tất Thu (THPT BC Lê Hồng phong, Đồng Nai) đăng trên toanmath.com. Tham khảo nghiên cứu đó và dựa vào một đề thi HSG MTCT cấp THCS của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2007, chúng tôi cụ thể hóa bài toán của Bộ và đáp số của nó như sau:
 

Đề thi năm 2007- câu 5: Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_0=-2007; u_1=-2006\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n+2007\end{array}\right.$$

  1. 1. Tính $u_{49}$
  2. 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số nói trên.

 

Để trả lời câu 1, ngày nay chúng ta sẽ xử lý trên MTCT Casio fx-580VN X như sau:

ans MTCT tự động lưu vào Ans sau đó được đẩy vào PreAns

 

pareans    MTCT tự động lưu vào Ans.

Viết lên màn hình nhấn (enter) ta được $u_2$ uhai, sau đó nhân (enter) đủ 47 lần ta được $u_{49}$ u49

 

Để trả lời câu 2 phù hợp với trình độ THCS, chúng tôi giới thiệu kết quả sau cho HS và sẽ chứng minh kết qủa đó cho GV.
 

Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_0=\alpha; u_1=\beta\\ u_{n+2}+au_{n+1}+bu_n= c\end{array}\right.$$
trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$. Số hạng tổng quát của dãy số nói trên có dạng $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$
trong đó $A, B, C$ là ba số mà ta sẽ xác định, $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình: $x^2+ax+b=0$.

 

Trở lại bài toán, giải phương trình bậc hai lần lượt lưu $x_1, x_2$ vào $A$ và $B$.ptbh

ptbh1   ptbh2

Để tìm các hệ số của $x_1^n, x_2^n$ và hệ số tự do, ta giải hệ ba phương trình (bằng cách cho $n=0,1,2$ vào hệ thức quy nạp):

hpt
z

Vậy $$u_n=\dfrac{\sqrt5}{5}\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\dfrac{\sqrt5}{5}\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n-2007$$

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Polynomialdeg3.svg 1

Dư của phép chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho tam thức $x^2+\alpha x+\beta$

Thực hiện phép chia đa thức $\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+\alpha x+\beta}$ ta có thương và dư như sau: …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết