Sử dụng số phức chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài viết sau đây dành cho học sinh đã tự học trong hè xong chương trình 12.
Bài viết cũng hướng đến đối tượng là các giáo viên trẻ. Cũng là một gợi ý về một sáng kiến kinh nghiệm nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi.

 

Mệnh đề 1:
 
Trong mặt phẳng cho 4 điểm $A, B, C, D$ phân biệt từng đôi một. Gọi $a, b, c, d$ lần lượt là các số phức nhận 4 điểm nói trên làm điểm biểu diễn.

Khi đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp được khi và chỉ khi tỉ số kép $\dfrac{c-a}{c-b}:\dfrac{d-a}{d-b}$ là số thực.

Chứng minh

Ta có nhận xét: nếu $a$ và $c$ có điểm biểu diễn là $A$ và $C$ thì số phức $c-a$ có điểm biểu diễn là $M$ sao cho $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AC}$.

Tương tự nếu $b$ và $c$ có điểm biểu diễn là $B$ và $C$ thì số phức $c-b$ có điểm biểu diễn là $N$ sao cho $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}$.

Vậy $\arg \dfrac{c-a}{c-b}$ chính là góc $\widehat{ACB}$

Ghi nhớ: Muốn chia hai số phức dạng lượng giác ta lấy mô-đun chia cho mô-đun và lấy arg trừ cho arg.

Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 1:
 
 

$\dfrac{c-a}{c-b}:\dfrac{d-a}{d-b}$ là số thực khi và chỉ khi
 
$\arg\left(\dfrac{c-a}{c-b}:\dfrac{d-a}{d-b}\right)=0 \Leftrightarrow \arg \dfrac{c-a}{c-b}=\arg \dfrac{d-a}{d-b} \Leftrightarrow \widehat{ACB} =\widehat{ADB} \Leftrightarrow $ tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

 
 
 

Mệnh đề 2:
 
Cho ba số phức $a$, $b$ và $z$ sao cho $|a|=|b|=1$ lần lượt có điểm biểu diễn là $A, B, Z$. Gọi $W$ là điểm đối xứng của $Z$ qua đường thẳng $AB$. Khi đó $W$ là điểm biễu diễn của số phức $a+b-ab\overline{z}$.

 
Chứng minh
 

Xét hai số phức $\dfrac{z-a}{b-a}$ và $\dfrac{w-a}{b-a}$ ($w$ là số phức có điểm biểu diễn là $W$.)

VÌ $Z$ và $W$ đối xứng nhau qua đường thẳng $AB$ nên điểm biểu diễn của hai số phức nói trên đối xứng nhau qua trục hoành.

 
(điểm này bạn đọc tự tìm hiểu).

Khi đó số phức liên hợp của $\dfrac{z-a}{b-a}$ chính là $\dfrac{w-a}{b-a}$.

Vậy $\dfrac{w-a}{b-a}=\overline{\dfrac{z-a}{b-a}}=\dfrac{\overline{z}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}=\dfrac{\overline{z}-\dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}}=\dfrac{ab\overline{z}-b}{a-b}\Rightarrow w=a+b-ab\overline{z}$. (đpcm)

 

Mệnh đề 3:
 
Cho ba số phức $a$, $b$ và $c$ sao cho $|a|=|b|=|c|=1$ lần lượt có điểm biểu diễn là $A, B, C$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Khi đó $H$ là điểm biễu diễn của số phức $a+b+c$.

 
Chứng minh
 

Giả sử $a=a_1+a_2i, b=b_1+b_2i, c=c_1+c_2i$. Các số $a_i, b_i, c_i (i=1,2)$ đều là số thực.
 
Gọi $K$ là điểm biểu diễn của số phức $a+b+c$. Khi đó toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AK}$ bằng phần thực và phần ảo của số phức $(a+b+c)-a=b+c$, nghĩa là bằng $(b_1+c_1,b_2+c_2)$.

Ngoài ra $\overrightarrow{BC}=(c_1-b_1, c_2-b_2)$. Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=c_1^2+c_2^2-(b_1^2+b_2^2)=1-1=0 \Rightarrow AH \perp BC$. Tương tự $BH\perp AC$.

 

Áp dụng:
 
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Lấy một điểm D trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng kẻ từ B và C lần lượt song song với AD cắt đường tròn (ABC) tại các giao điểm thứ hai E và F. Gọi S, T, U lần lượt là điểm đối xứng của D, E, F qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tứ giác STHU nội tiếp.

sophuc

Giải

Ta có thể chọn đơn vị để đường tròn (ABC) là đường tròn đơn vị và không làm mất tính tổng quát ta giả sử $AD, BE, CF$ vuông góc với trục thực bằng cách quay một góc thích hợp.

Gọi $a, b, c$ là các số phức có mô-đun bằng 1 và nhận $A, B, C$ làm điểm biểu diễn, Khi đó trực tâm $H$ là điểm biểu diễn của số phức $a+b+c$. Vì $AD$ vuông góc với trục thực nên số phức $d-a$ là số thực, suy ra $d=\overline{a}$. Tương tự $e=\overline{b}, f=\overline{c}$.

Do tính chất đối xứng qua trục nên theo mệnh đề 2, ta có: $s = b + c − bc\overline{d} = b + c − abc$.

Tương tự $t = c + a − ca\overline{e} = c + a − abc$, $u = a + b − ab\overline{f} = a + b − abc$.

Ta tính $w=\dfrac{s-t}{s-u}:\dfrac{h-t}{h-u}=\dfrac{b-a}{c-a}:\dfrac{b+abc}{c+abc}=\dfrac{b-a}{c-a}\times \dfrac{c+abc}{b+abc}=\dfrac{b-a}{c-a}\times \dfrac{c(1+ab)}{b(1+ac)}$.

Do đó $\overline{w}=\dfrac{\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a}}\times \dfrac{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{abc}}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{abc}}=\dfrac{b-a}{c-a}\times \dfrac{c(1+ab)}{b(1+ac)}$.

Vậy $\overline{w}=w$ nên $w$ là số thực. Suy ra tứ giác $STHU$ nội tiếp.

 
Một bài tập gợi ý:

Cho tam giác ABC trực tâm H nội tiếp đường tròn $\omega$. Điểm P nằm trong tam giác. Các tia AP, BP, và CP lại cắt $\omega$ tại $A_1, B_1$, và $C_1$, tương ứng. Gọi $A_2, B_2$, và $C_2$ là điểm đối xứng của $A_1, B_1$, và $C_1$ qua trung điểm của các cạnh BC, CA, và AB, tương ứng. Chứng minh rằng tứ giác $HA_2B_2C_2$ nội tiếp.
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

1 1617631853642

Giải câu 49 đề thi TN THPT mã đề 101

  GIẢI Gợi ý:   $\bullet\ $Hai đoạn thẳng $AM$ và $BN$ rời nhau ta …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết