Giải tiếp bài toán của Thầy Đang Nguyễn

Gọi thêm hai đỉnh hình vuông là $E$ và $F$ như hình vẽ.

Ta có $\widehat{DAC}=\widehat{FAE}=2\arctan\dfrac12$

Phương trình đường thẳng $AF$ là $x-2y+1=0$ do đó toạ độ điểm $D$ (hình chiếu vuông góc  của tâm $I$ trên $AF$) là $D\left(\dfrac{\sqrt5}{5};\dfrac{5+\sqrt5}{10}\right)$.

Ngoài ra theo tính toán ở trên ta có $C\left(\dfrac{\sqrt5+2}{5};\dfrac{3-\sqrt5}{10}\right)$.

Suy ra $CD^2=\dfrac{10+2\sqrt5}{25}$.

Nhận xét rằng $BD=BC$  do đó: $$\cos \widehat{CBD}=\dfrac{2BC^2-DC^2}{2BC^2}=\dfrac35$$

Cuối cùng vì $\arccos\dfrac35=2\arctan\dfrac12$

nên $\widehat{DAC}=\widehat{DBC}$ là điều cần chứng minh.

PS. Cám ơn gợi ý của thầy Vac Nguyễn.
Các tính toán phức tạp về các số vô tỉ được thực hiện trên máy tính Casio fx-580 VNX

Vì $AE=AF$ nên có thể tính góc $\widehat{FAE}$ cách khác như sau: $$\cos\widehat{FAE}=\dfrac{2AF^2-EF^2}{2AF^2}=\dfrac{3}{5}$$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.