Sử dụng tính đối xứng của biểu thức trong căn thức tìm nghiệm duy nhất

Đề bài: Tìm giá thực của tham số [latex]m[/latex] để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

[latex]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]0\leqslant x\leqslant 1[/latex]

Đặt [latex]f\left ( x \right )=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}[/latex]

Thấy rằng [latex]f\left ( x \right )=f\left ( 1-x \right )[/latex]

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất thì [latex]x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/latex]

Thay vào vế trái phương trình ta có [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]

Thử lại với [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

[latex]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leqslant \sqrt{2}, \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\leqslant \sqrt[4]{8}[/latex]

Do đó [latex]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+ \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\leqslant \sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]

Đẳng thức xảy ra khi [latex]x=\frac{1}{2}[/latex]

Vậy [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex] là giá trị cần tìm. 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ ĐỈNH, PHƯƠNG TRÌNH TRỤC ĐỐI XỨNG PARABOL

Trong bài viết này, Diễn đàn Toán Casio sẽ trình bày cách sử dụng máy tính Casio fx- 580VNX để xác định nhanh tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng Parabol thông qua 1 ví dụ minh họa.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết