BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Sử dụng tính đối xứng của biểu thức trong căn thức tìm nghiệm duy nhất
- 16/11/2017
- 292 lượt xem
Đề bài: Tìm giá thực của tham số [latex]m[/latex] để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
[latex]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/latex]Bài giải: Điều kiện [latex]0\leqslant x\leqslant 1[/latex]
Đặt [latex]f\left ( x \right )=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}[/latex]
Thấy rằng [latex]f\left ( x \right )=f\left ( 1-x \right )[/latex]
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất thì [latex]x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/latex]
Thay vào vế trái phương trình ta có [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]
Thử lại với [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
[latex]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leqslant \sqrt{2}, \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\leqslant \sqrt[4]{8}[/latex]Do đó [latex]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+ \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\leqslant \sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]
Đẳng thức xảy ra khi [latex]x=\frac{1}{2}[/latex]
Vậy [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex] là giá trị cần tìm.
About casiobitex
