Các tính toán trong khối tứ diện, giải bài toán Hình học kỳ thi HSG MTCT

Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4,5; BC = 6,3; CA = 5,7$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$
là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AC = 3AN$ và $AM$ cắt $BN$ tại $I$. Trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng $(ABC)$ tại $I$, lấy điểm $S$ sao cho $SI = 6$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ
số thập phân sau dấu phẩy):
  1. Độ dài các cạnh $SA, SB, SC$ của tứ diện $SABC$.
  2. Chiều cao $BK$ của tứ diện $SABC$.
  3. Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$.

 

hkg1

Ta có

$\left.\begin{array}{l}a=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac23\\ b=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac12\end{array}\right\}\Rightarrow \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{1-a}{1-ab}=\dfrac12\quad \text{và}\quad \dfrac{BI}{BN}=\dfrac34.$

Trong đó $AM=\sqrt{\dfrac{AB^2+AC^2-\dfrac{BC^2}{2}}{2}}=$hkg1alưu vào x.

 

Suy ra $AI=$hkg1b 1. Do đó $SA=$ hkg1c 1

hkg2c hkg2b hkg2a

Ta có:

$BN^2=AB^2+AN^2-2AB.AN.\cos A$ suy ra $BN=$hkg2d

lưu vào y.
Vậy $IB=$hkg2e. Do đó $SB=$hkg2f

Cuối cùng ta có $IC^2=BI^2+BC^2-2BI.BC\cos \widehat{NBC}$

 

suy ra $IC=$hkg2g

Do đó $SC=$hkg2h

 

2) Tính chiều cao $BK$ của khối tứ diện $SABC$

$$BK.S_{SAC}=SI.S_{ABC}$$

Dùng công thức Hê-rông tính $S_{SAC}$:

hkg3a hkg3b lưu vào x.

Dùng công thức Hê-rông tính $S_{ABC}$:

hkg3c hkg3d lưu vào y.

 

Vậy $BK=$hkg3e

c) Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp  tứ diện $SABC$.

$$R=\dfrac{S}{6V}$$

trong đó $V$ là thể tích khối  tứ diện $SABC$.

$S$ là “diện tích” của một khối diện có các cạnh là tích của các cặp cạnh đối diện của khối tứ diện $SABC$, cụ thể là ba “cạnh” $D\times a, E\times b, F\times c$.

 hkg4c hkg4b hkg4a hkg4d

$S=$ hkg4e

$V=\dfrac13\times 6 y$ 

Kết luận $R=\dfrac{S}{6V}= $ hkg4f

 

 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ ĐÁP ÁN

Bài 8. Cho tam giác ABC có $AB= 3, 5 ; BC=5, 3 ; CA= 4, 8$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ ; $N$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BC= 3 BN$ và $BM$ cắt $AN$ tại $I$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $( ABC )$ tại $I$ , lấy điểm $S$ sao cho $SI= 7$ . Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy):
  1. Độ dài các cạnh $SA , SB , SC$ của tứ diện $SABC$.
  2. Chiều cao BK của tứ diện $SABC$.
  3. Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$.
Đáp án: $SA\approx 7,38$, $SB\approx 7,25$, $SC\approx 7,89$, $BK\approx 3,32$ , $R \approx 4,07$.
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

mohit kadyan division of complex numbers 01 1608629697

Sử dụng số phức chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài viết sau đây dành cho học sinh đã tự học trong hè xong chương …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết