Luyện thi - THCS

Đề bài. Cho phương trình $x^2+2(m+1)x+6m-4=0$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả mãn $(4x_1-2mx_1-6m+13)x_2^2-24x_1-100=0$. Sở dĩ gọi là “cách khác” vì nhiều thầy cô đã khéo léo biến đổi biểu thức $$x_1^2+2mx_1+x_1+6m-4=0 ⇔ -2mx_1-6m=x_1^2+2x_1-4 ⇒ 4x_1-2mx_1-6m+13=(x_1+3)^2$$ Bài giải dưới đây coi như một kênh tham …

  BĐT cơ bản 1. Cho $a, b,c $ tuỳ ý, ta có các bất đẳng thức cơ bản sau đây: $\left\lbrace\begin{array}{l}a^2+b^2\geqslant 2ab\\ b^2+c^2\geqslant 2bc\\ c^2+a^2\geqslant 2ca\end{array} \right.$ $⇒ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ BĐT cơ bản 2. Với $a, b, c$ tuỳ ý ta có:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geqslant 3(ab+bc+ca)$.   Ngoài ra:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$. Vậy: $$3(ab+bc+ca)\leqslant …

    Tứ giác $ABED$ nội tiếp đường tròn, hai đường chéo giao nhau tại $I$ ta suy ra hai cặp tam giác sau đây đồng dạng:   $\Delta IAB \backsim \Delta IDE ⇒ \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{IB}{IE} \quad (5)$ $\Delta IAD \backsim \Delta IBE ⇒ \dfrac{AD}{BE}=\dfrac{ID}{IE}\quad (6)$   Chia (5) cho (6) ta có: $\dfrac{AB}{DE} \div \dfrac{AD}{BE} …

    Vì $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$ nên $DE=BF$, suy ra tứ giác $BDEF$ là hình thang cân với hai đáy $BD; FE$. Vậy $\widehat{DBF}=\widehat{BDE}\quad (3)$. Theo chứng minh ở câu a) $\widehat{BDE}=\widehat{DBK}\quad (4)$ (so le trong). Từ (3) và (4) ta suy ra $\widehat{DBF}=\widehat{DBK}$. Ta giác $BKF$ cân tại $B$ (vì $BK=BF=DE$) nên đường phân giác trong …

    Ta có nhận xét tứ giác $BHDC$ là hình bình hành nên hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, Vì $I$ là trung điểm $BD$ nên $I$ cũng là trung điểm $HC$, nghĩa là $H, I, C$ thẳng hàng và $IH=IC$.   $HK/\!/ EC$ (1) vì cùng vuông …

  GIẢI 1) Khi $x=9$ ta có: $$A=\dfrac{\sqrt9+2}{\sqrt9-2}=\dfrac{3+2}{3-2}=5 $$ 2) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$. Ta có: $B=\dfrac{x+4}{x-4}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+4-2(\sqrt{x}+2)}{x-4}=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ 3) Ta có: $$AB=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \geqslant 0 ⇔ \left[\begin{array}{l}x=0\\ \left\lbrace\begin{array}{l} x > 0\\ \sqrt{x}-2>0\end{array} \right. \end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x=0\\ x>4\end{array} \right.$$   GIẢI 1) Gọi $x$ (km/h) là vận tốc lúc đi. Điều kiện $x>0$. Suy ra vận …

Đề bài. Cho phương trình $x^2+2(m+1)x+6m-4=0$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả mãn $(4x_1-2mx_1-6m+13)x_2^2-24x_1-100=0$. Sở dĩ gọi là “cách khác” vì nhiều thầy cô đã khéo léo biến đổi biểu thức $$x_1^2+2mx_1+x_1+6m-4=0 ⇔ -2mx_1-6m=x_1^2+2x_1-4 ⇒ 4x_1-2mx_1-6m+13=(x_1+3)^2$$ Bài giải dưới đây coi như một kênh tham …

  BĐT cơ bản 1. Cho $a, b,c $ tuỳ ý, ta có các bất đẳng thức cơ bản sau đây: $\left\lbrace\begin{array}{l}a^2+b^2\geqslant 2ab\\ b^2+c^2\geqslant 2bc\\ c^2+a^2\geqslant 2ca\end{array} \right.$ $⇒ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ BĐT cơ bản 2. Với $a, b, c$ tuỳ ý ta có:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geqslant 3(ab+bc+ca)$.   Ngoài ra:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$. Vậy: $$3(ab+bc+ca)\leqslant …

    Tứ giác $ABED$ nội tiếp đường tròn, hai đường chéo giao nhau tại $I$ ta suy ra hai cặp tam giác sau đây đồng dạng:   $\Delta IAB \backsim \Delta IDE ⇒ \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{IB}{IE} \quad (5)$ $\Delta IAD \backsim \Delta IBE ⇒ \dfrac{AD}{BE}=\dfrac{ID}{IE}\quad (6)$   Chia (5) cho (6) ta có: $\dfrac{AB}{DE} \div \dfrac{AD}{BE} …

    Vì $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$ nên $DE=BF$, suy ra tứ giác $BDEF$ là hình thang cân với hai đáy $BD; FE$. Vậy $\widehat{DBF}=\widehat{BDE}\quad (3)$. Theo chứng minh ở câu a) $\widehat{BDE}=\widehat{DBK}\quad (4)$ (so le trong). Từ (3) và (4) ta suy ra $\widehat{DBF}=\widehat{DBK}$. Ta giác $BKF$ cân tại $B$ (vì $BK=BF=DE$) nên đường phân giác trong …

    Ta có nhận xét tứ giác $BHDC$ là hình bình hành nên hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, Vì $I$ là trung điểm $BD$ nên $I$ cũng là trung điểm $HC$, nghĩa là $H, I, C$ thẳng hàng và $IH=IC$.   $HK/\!/ EC$ (1) vì cùng vuông …

  GIẢI 1) Khi $x=9$ ta có: $$A=\dfrac{\sqrt9+2}{\sqrt9-2}=\dfrac{3+2}{3-2}=5 $$ 2) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$. Ta có: $B=\dfrac{x+4}{x-4}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+4-2(\sqrt{x}+2)}{x-4}=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ 3) Ta có: $$AB=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \geqslant 0 ⇔ \left[\begin{array}{l}x=0\\ \left\lbrace\begin{array}{l} x > 0\\ \sqrt{x}-2>0\end{array} \right. \end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x=0\\ x>4\end{array} \right.$$   GIẢI 1) Gọi $x$ (km/h) là vận tốc lúc đi. Điều kiện $x>0$. Suy ra vận …