Về việc chứng minh trung điểm của một đoạn thẳng

Một số bài toán chứng minh trung điểm của một đoạn thẳng khá phức tạp. Những ví dụ sau đây nhằm tìm ra một Phương pháp chung để thực hiện việc chứng minh đó.

 

Ví dụ 1: Cho một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Qua $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với $A$ và $B$ là hai tiếp điểm. Vẽ cát tuyến $MCD$ sao cho $C$ nằm giữa $M$ và $D$. Vẽ đường kính $BE$. Qua $C$ vẽ một đường thẳng song song với $MO$ cắt $ED$ và $EB$ lần lượt tại $P$ và $I$. Chứnh minh $I$ là trung điểm $CP$.

 

trungdiem 1

 

Chứng minh

 

Gọi $K$ là trung điểm $CD$. Ta chứng minh tam giác $EIP$ đồng dạng với tam giac $CKB$.

Thật vậy,

$\widehat{EIP}=\widehat{O_1}$ (đồng vị)

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (đối đỉnh)

$\widehat{O_2}=\widehat{BKM}$ (cùng chắn cung $BM$ của đường tròn đi qua 5 điểm M, O, A, B, K).

Suy ra $\widehat{EIP}=\widehat{BKC}\quad (1)$.

$\widehat{DEB}=\widehat{KCB}$ (cùng chắn cung $DB$) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\Delta EIP \backsim \Delta CKB$.

Suy ra $\dfrac{IP}{KB}=\dfrac{IE}{KC} \Rightarrow IP=\dfrac{KB.IE}{KC}$

 

 

Chứng minh tương tự ta có: $\Delta IEC\backsim \Delta KDB$

Suy ra $\dfrac{IC}{KB}=\dfrac{IE}{KD}\Rightarrow IC=\dfrac{KB.IE}{KD}$

Vì $KC=KD$ nên $IP=IC$ (đpcm).

 

 

Ví dụ 2:

 

Xem bài hàng điểm điều hòa

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Bài toán Hình hoc TS 10 PTNK (câu 4)

    Gọi $N$ là giao điểm của $AE$ và $HT$. Tam giác $HKN$ vuông …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết