BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Bài toán ứng dụng đồng dư thức tìm phép chia hết cho một số
- 08/12/2017
- 1,353 lượt xem
Chứng minh rằng : [latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7
Giải
Ta có 2222 + 4 [latex]\vdots[/latex] 7 => 2222 ≡ (- 4) (mod 7) => [latex]2222^{5555}[/latex] ≡ [latex](-4)^{5555}[/latex](mod 7)
5555 – 4 [latex]\vdots[/latex]7 => 5555 ≡ 4 (mod 7) => [latex]5555^{2222}[/latex] ≡ [latex]4^{2222}[/latex](mod 7)
=>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex]≡ [latex](-4)^{5555}+4^{2222}[/latex] (mod 7)
Mà [latex]4^{2222}=(-4)^{2222}[/latex]
[latex]\begin{gathered} \Rightarrow {( – 4)^{5555}} + {4^{2222}} = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} + {4^{2222}} \hfill \\ = {( – 4)^{2222}}{.4^{3333}} – {( – 4)^{2222}} = {( – 4)^{2222}}({4^{3333}} – 1) \equiv ({4^3}) – 1 \hfill \\ \end{gathered}[/latex](mod 7) (1)
Ta lại có : [latex]{4^3} \equiv 1[/latex](mod 7)[latex]{4^3} – 1 = 63 \vdots 7 \Rightarrow {4^3} – 1 \equiv 0[/latex] (mod 7) (2)
Nên [latex](-4)^{5555}+4^{2222}\equiv 0[/latex] (mod 7)
Từ (1) và (2) =>[latex]2222^{5555}+5555^{2222}[/latex] chia hết cho 7.
About toancasiobitex
