BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
PHẦN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG THỨC MA TRẬN TRÊN MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN THPT
- 23/01/2019
- 2,398 lượt xem
Như ta đã biết thì trong chương trình Trung học phổ thông, vấn đề tính toán với các ma trận không được đề cập tới. Tuy nhiên đối với các giáo viên việc sử dụng ma trân đem lại một số lợi ích đáng kể, đặc biệt đối với các bài toán không đơn giản về phương pháp toạ độ trong không gian. Phần 4 này ad sẽ đưa ra những hướng dẫn cụ thể trên máy tính Casio fx-580VNX để các bạn có thể giải quyết một số bài toán thpt bằng phương thức ma trận: Điều kiện cắt nhau của hai đường thẳng, Tính thể tích khối đa diện, Giải hệ phương trình bậc 4.
Trong loạt bài viết này ad đưa ra những hướng dẫn cơ bản nhất để có thể làm quen với phương thức Matrix. Từ đó ứng dụng nó để giải quyết những bài toán Đại số tuyến tính từ đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra, loạt bài viết này còn ứng dụng phương thức ma trận để giải quyết một số bài toán trắc nghiệm ở chương trình trung học phổ thông. Phần 4 này ad sẽ đưa ra những hướng dẫn cụ thể trên máy tính Casio fx-580VNX để các bạn có thể giải quyết một số bài toán thpt bằng phương thức ma trận.
- Điều kiện cắt nhau của hai đường thẳng.
- Tính thể tích khối đa diện.
- Giải hệ phương trình bậc 4.
III. Sử dụng phương thức ma trận trên máy tính Casio để giải những bài toán THPT
Như ta đã biết thì trong chương trình Trung học phổ thông, vấn đề tính toán với các ma trận không được đề cập tới. Tuy nhiên đối với các giáo viên việc sử dụng ma trân đem lại một số lợi ích đáng kể, đặc biệt đối với các bài toán không đơn giản về phương pháp toạ độ trong không gian.
1. Sử dụng phương thức ma trận để giải những bài toán hình học không gian toạ độ
a. Điều kiện cắt nhau của hai đường thẳng
Giả sử ta có hai đường thẳng
$latex {{d}_{1}}:\dfrac{x-{{x}_{A}}}{{{a}_{1}}}=\dfrac{y-{{y}_{A}}}{{{a}_{2}}}=\dfrac{z-{{z}_{A}}}{{{a}_{3}}}$,$latex {{d}_{2}}:\dfrac{x-{{x}_{B}}}{{{b}_{1}}}=\dfrac{y-{{y}_{B}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{z-{{z}_{B}}}{{{b}_{3}}}$
Nếu $latex {{d}_{1}}$ và $latex {{d}_{2}}$ không cùng phương và ba vector
$latex \overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right);\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}} \right);\overrightarrow{AB}$
Không đồng phẳng thì hai đường thẳng $latex {{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau.
Về phương diện định thức, ba vector nói trên không đồng phẳng tương đương với
$latex \left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\{{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\{{x}_{B}}-{{x}_{A}} & {{y}_{B}}-{{y}_{A}} & {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \\\end{matrix} \right|=0$
Ví dụ 1. Trong không gian $latex Oxyz$, cho hai đường thẳng
$latex {{d}_{1}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$,$latex {{d}_{2}}:\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$
Và mặt phẳng $latex \left( P \right):x+2y+3\text{z}-5=0$. Đường thẳng vuông góc với $latex \left( P \right)$, cắt $latex {{d}_{1}}$ và $latex {{d}_{2}}$ có phương trình là:
| a. $latex \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$ | b. $latex \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{3}$ |
| c. $latex \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ | d. $latex \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}$ |
Hướng dẫn
Ta thử phương án A với $latex {{d}_{1}}$ . Nếu $latex {{d}_{1}}$ không cắt $latex {{d}_{A}}$ ta thử tiếp phương án B, ….
Thử phương án A:
w4133
CTR1
2T3
=
$latex \Rightarrow {{d}_{A}}$ cắt ${{d}_{1}}$.
T1233
CTR2T4=
$latex \Rightarrow {{d}_{A}}$ cắt ${{d}_{2}}$.
Vậy chọn A.
Lưu ý: Nếu $latex {{d}_{1}}$ không cắt $latex {{d}_{A}}$ ta chuyển ngay sang phương án B. Nếu $latex {{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{A}}$ nhưng $latex {{d}_{2}}$ không cắt $latex {{d}_{A}}$ ta cũng chuyển sang phương án B. Trong ví dụ này ta chọn phương án A. Tuy nhiên nếu phải chuyển sang phương án B, ta chuyển như sau
T
2
1
Điều chỉnh lại ma trận A
CTR2T3=
Định thức khác $latex 0$ nên $latex {{d}_{1}}$ không cắt ${{d}_{B}}$. Nếu vậy ta thử tiếp phương án C. Nếu C sai thì ta chọn D.
Thời gian để thử ba phương án không lâu hơn bao nhiêu so với thời gian giải tự luận của câu trắc nghiệm đó.
[dropshadowbox align=”none” effect=”lifted-both” width=”auto” height=”” background_color=”#ffffff” border_width=”1″ border_color=”#dddddd” ]Lời bình. Đôi khi chúng ta nghĩ việc sử dụng ma trận đối với học sinh Trung học phổ thông là không cần thiết. tuy nhiên chúng ta cũng biết rằng nhiều vấn đề về phương pháp toạ độ trong không gian có thể được xử lý thông qua phép tính định thức và ma trận thì thao tác sẽ đơn giản hơn.
[/dropshadowbox]b. Tính thể tích khối đa diện
Giả sử ta có khối tứ diện $latex ABCD$ có
$latex \overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right),\overrightarrow{AC}=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right),\overrightarrow{AD}\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}};{{z}_{3}} \right)$
thì thể tích được xác định theo công thức
$latex {{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{6}\left| \left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & {{z}_{1}} \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & {{z}_{2}} \\ {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & {{z}_{3}} \\\end{matrix} \right| \right|$
Trong đó $latex D=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & {{z}_{1}} \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & {{z}_{2}} \\ {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & {{z}_{3}} \\\end{matrix} \right|$ là một định thức vuông cấp ba, được tính theo công thức:
$latex D=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & {{z}_{1}} \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & {{z}_{2}} \\ {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & {{z}_{3}} \\ \end{matrix} \right|={{x}_{1}}{{y}_{2}}{{z}_{3}}+{{x}_{3}}{{y}_{1}}{{z}_{2}}+{{x}_{2}}{{y}_{3}}{{z}_{1}}-{{x}_{3}}{{y}_{2}}{{z}_{1}}-{{x}_{1}}{{y}_{3}}{{z}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}{{z}_{3}}$
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ $latex Oxyz$ cho bốn điểm
$A\left( 1;0;1 \right),B\left( 2;2;2 \right),C\left( 5;2;1 \right),D\left( 4;3;-2 \right)$
Tìm thể tích tứ diện $latex ABCD$:
| A. $latex 6$. | B. $latex 12$. | C. $latex 24$. | D. $latex 4$. |
Hướng dẫn
Ta có ba vector: $latex \overrightarrow{AB}=\left( 1;2;1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 4;2;0 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 3;3;-3 \right)$
Nhập toạ độ của ba vector vào ma trận:
Vậy $latex V=4$.
2. Áp dụng ma trận giải hệ phương trình tuyến tính bốn ẩn
Một hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
$latex \left( \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} & {{a}_{14}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} & {{a}_{24}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} & {{a}_{34}} \\ {{a}_{41}} & {{a}_{42}} & {{a}_{43}} & {{a}_{44}} \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{align} & {{b}_{1}} \\ & {{b}_{2}} \\ & {{b}_{3}} \\ & {{b}_{4}} \\\end{align} \right)\Leftrightarrow AX=B$
Khi đó nghiệm của hệ viết dưới dạng ma trận là:
$latex X={{A}^{-1}}B$
Ví dụ 3. Trong không gian $latex Oxyz$ cho bốn điểm
$latex A\left( 1;-2;1 \right),B\left( -5;10;-1 \right),C\left( 4;1;11 \right),D\left( -8;-2;2 \right)$
Tâm $latex I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $latex ABCD$ có toạ độ là:
| A. $latex I\left( -2;4;5 \right)$ | B. $latex I\left( 2;-4;5 \right)$ |
| C. $latex I\left( 5;4;-2 \right)$ | D. $latex I\left( -5;-4;2 \right)$ |
Hướng dẫn
Phương trình mặt cầu có dạng
$latex {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$
Thay toạ độ của điểm nằm trên mặt cầu vào phương trình:
$latex -2a{{x}_{0}}-2b{{y}_{0}}-2c{{z}_{0}}+d=-\left( {{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+{{z}_{0}}^{2} \right)$
Thay vì vào phương thức hệ phương trình để giả hệ phương trình tuyến tính bốn ẩn ta có thể sử dụng w4144 để nhập ma trận 4 dòng 1 cột như sau:
Như các bạn thấy, ta có tất cả thông tin của mặt này trên một màn hình. Cụ thể tâm của mặt cầu là $latex I\left( -2;-4;5 \right)$.
————————————
Trên đây là một số kĩ thuật sử dụng phương thức Matrix để giải quyết những bài toán sơ cấp ở trung học phổ thông. Các bạn còn ý tưởng nào hay hơn thì đừng ngại để lại bình luận qua fanpage cho ad nhá.
Đón xem phần 5: PHẦN 5: GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TOÁN LUỸ THỪA MA TRẬN BẰNG PHƯƠNG THỨC MATRIX
Bài viết trước: PHẦN 3: SO SÁNH HIỆU NĂNG PHƯƠNG THỨC MA TRẬN CỦA HAI DÒNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VNX VÀ CASIO FX-570VN PLUS
About Bitex Khánh Vũ
