Toán dãy số

Đề bài: Cho dãy số $a_{n}$ được xác định như sau:

$a_{1}=1; a_{2}=3$ và $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1$ ( $n$ là số nguyên dương)

a) Viết quy trình ấn phím liên tục tính $a_{n}$ .

b) Tính $a_{15}, a_{20}, a_{30}$ .

c) Chứng minh rằng $A=4a_{n}.a_{n+2}+1$ là số chính phương.

Bài giải:

a/ Chuyển dãy số về dạng:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}=1; a_{2}=3 & & \\ a_{n}=2a_{n-1}-a_{n}+1\left ( n\geqslant 3 \right ) & & \end{matrix}\right.$

Quy trình bấm máy:

$X=X+1:A=2B-A+1:B=2A-B+1$

Bấm CALC, nhập vào $X=2; A=1; B=3$ .

b/ Tính được $a_{15}, a_{20}, a_{30}$ .

c/ Tìm quy luật dãy số (trong quá trình bấm máy trên nên ghi lại luôn mặc dù đề bài không yêu cầu tính):

Ta thấy $a_{1}=1; a_{2}=3; a_{3}=6; a_{4}=10; a_{5}=15; a_{6}=23;...$

Do đó, ta có thể dự đoán $a_{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ .

Chứng minh: Quy nạp.

Từ đó ta được $A=4a_{n}a_{n+2}+1=n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )+1$

Đưa $n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )+1$ về bình phương của một tam thức bậc hai như sau:

Bước 1: Tìm hệ số đứng trước $n^{2}$

8 5

Vậy hệ số đứng trước $n^{2}$ là 1.

Bước 2: Tìm hệ số đứng trước $n$ :

8 6

Vậy hệ số đứng trước $n$ là 3.

Bước 3: Hệ số tự do:

8 7

Vậy ta được

$A=4a_{n}a_{n+2}+1=n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )+1=\left ( n^{2}+3n+1 \right )^{2}$

Chia sẻ

BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay