Rút gọn biểu thức hay - Đề thi học kỳ I Quận 3 2016-2017- TPHCM

25/09/2017
432 lượt xem
adquanly

Đề bài: Cho $\large a^3+b^3+c^3=3abc$ với $\large a,\,b,\,c \neq 0$ và $\large a+b+c \neq 0$
Rút gọn biểu thức:
$\large P = \dfrac{{\left( {2016 + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {2016 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {2016 + \dfrac{c}{a}} \right)}}{{{{2017}^3}}}$

$\large \begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\\ \Leftrightarrow {a^3} + 3ab(a + b) + {b^3} + {c^3} - 3abc - 3ab(a + b) = 0\\ \Leftrightarrow {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b + c) = 0\\ \Leftrightarrow (a + b + c)({a^2} + 2ab + {b^2} - ac - bc + {c^2}) - 3ab(a + b + c) = 0\\ \Leftrightarrow (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow a = b = c \end{array}$