Dư của phép chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho tam thức $x^2+\alpha x+\beta$

Thực hiện phép chia đa thức $\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+\alpha x+\beta}$ ta có thương và dư như sau:
$$\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+\alpha x+\beta}=ax+b-a\alpha+\dfrac{[c-a\beta -\alpha(b-a\alpha)]x+d-\beta(b-a\alpha))}{x^2+\alpha x+\beta}$$

Vậy dư của phép chia đa thức nói trên là:

$$R(x)=[c-a\beta -\alpha(b-a\alpha)]x+d-\beta(b-a\alpha)$$

 

Áp dụng: Tìm đa thức bậc ba $f (x )$ sao cho $f (x )$ chia cho $x^2-x+2$ dư $2x-1$, chia cho $x^2+x$ dư $16x-3$. Tính $f(2021)$.
Giải:

  1. 1. Với $\alpha=-1, \beta=2$ theo đề bài ta có:
    $$2x-1\equiv [c-a\beta -\alpha(b-a\alpha)]x+d-\beta(b-a\alpha) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(\alpha^2-\beta)a-\alpha b+c=2\\
    \alpha\beta a-\beta b+d=-1\end{array}\right.$$
  2. 2. Với $\alpha=1, \beta=0$ theo đề bài ta có:
    $$16x-3\equiv [c-a\beta -\alpha(b-a\alpha)]x+d-\beta(b-a\alpha) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(\alpha^2-\beta)a-\alpha b+c=16\\
    \alpha\beta a-\beta b+d=-3\end{array}\right.$$

he1a

he1b

Vậy đa thức bậc ba cần tìm là:

$$f(x)=3x^3-4x^2+9x-3$$
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

the golden ratio teaser

Số hạng tổng quát của dãy số quy nạp

Nhiều năm trước đây, nhiều giáo viên đã có những nghiên cứu thú vị về …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết