Sử dụng máy tính casio giải bài toán Malfatti

Bài toán: Cho tam giác  $ABC$. Bên trong tam giác này hãy vẽ ba đường tròn tiếp xúc nhau và mỗi cái tiếp xúc với hai cạnh của tam giác $ABC$.

Đây là bài toán nổi tiếng do nhà toán học Ý  Malfatti (1731-1807) đặt ra vào năm 1803 và đã được giải trong tập 10 của  Memorie di Matematica e di Fisica della Società italiana delle Scienze. Lời giải khá hàn lâm và đòi hỏi nhiều công cụ vẽ hình nếu chỉ vẽ bằng thước kẻ và compa.(Ví dụ hãy vẽ một góc mà sin bình phương của góc đó bằng một số cho trước).

Trong bài viết này chúng tôi nêu ra đáp án và dùng máy tính Casio fx-580 VNX dể tính toán và tiến hành vẽ hình. Lưu ý các bạn, một bài toán vẽ hình là một bài toán hàn lâm và chỉ được vẽ bằng thước và compa.

Tuy nhiên do độ phức tạp của lời giải chúng tôi chọn phương pháp tính toán gần đúng với sai số 10 số không sau dấu phẩy thập phân.

Đáp án:

1. Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$ và đặt $a=\dfrac{BC}{p}, b=\dfrac{CA}{p}, c =\dfrac{AB}{p}$. Điều này có nghĩa là, không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tam giác $ABC$ có nửa chu vi bằng đơn vị.
2. Tính
   $\alpha=\dfrac{\arcsin(\sqrt{a})+\arcsin(\sqrt{b})+\arcsin(\sqrt{c})}{2}- \arcsin(\sqrt{a})$.$\beta=\dfrac{\arcsin(\sqrt{a})+\arcsin(\sqrt{b})+\arcsin(\sqrt{c})}{2}- \arcsin(\sqrt{b})$.$\gamma=\dfrac{\arcsin(\sqrt{a})+\arcsin(\sqrt{b})+\arcsin(\sqrt{c})}{2}- \arcsin(\sqrt{c})$.
3. Đặt $u=p.\sin^2(\alpha), v=p.\sin^2(\beta), w=p.\sin^2(\gamma)$. 

Dựng hình:

1. Dùng $A$ làm tâm vẽ một đường tròn bán kính $u$, cắt $AB$ tại $V$. Qua $V$ dựng  đường thẳng vuông góc   với $AB$ cắt đường phân giác trong góc $A$ tại $I$. Dùng $I$ làm tâm vẽ đường tròn đi qua $V$ ta có đường tròn thứ nhất.
2. Dùng $B$ làm tâm vẽ một đường tròn bán kính $v$, cắt $BC$ tại $T$. Qua $T$ dựng  đường thẳng vuông góc   với $BC$ cắt đường phân giác trong góc $B$ tại $J$. Dùng $J$ làm tâm vẽ đường tròn đi qua $T$ ta có đường tròn thứ hai.
3. Dùng $C$ làm tâm vẽ một đường tròn bán kính $w$, cắt $BC$ tại $Q$. Qua $Q$ dựng  đường thẳng vuông góc   với $BC$ cắt đường phân giác trong góc $C$ tại $K$. Dùng $K$ làm tâm vẽ đường tròn đi qua $Q$ ta có đường tròn thứ ba.

Thực hành trên máy tính Casio 

Giả sử ta xét tam giác $ABC$ với kích thước như sau:

$BC=10.66, CA=10.63, AB=6.19$

$a=$ 

$b=$

$c =$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.