Định lý VI-ET cho phương trình bậc 2, bậc 3,... bậc n

  • 10/01/2022
  • 5,416 lượt xem
  • thaohlt

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét) do nhà toán học Pháp Francois Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

1. Phương trình bậc hai

Nếu ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình: $\mathbf{a{x^2}+bx+c=0, a\ne{0}}$

thì: $\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{{x_1}+{x_2}=S=-\dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2}=P=\dfrac{c}{a}}\end{array} \right.$

2. Phương trình bậc ba

Nếu ${x_1}$,${x_2}$ và ${x_3}$ là ba nghiệm của phương trình: $\mathbf{a{x^3}+b{x^2}+cx+d=0, a\ne{0}}$

thì: $\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{{x_1}+{x_2}+{x_3}=-\dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2}+{x_2}{x_3}+{x_3}{x_1}=\dfrac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3}=-\dfrac{d}{a}}\end{array} \right.$

3. Phương trình đa thức bất kỳ

Nếu ${x_1}$,${x_2}$,…,${x_n}$ là $n$ nghiệm của phương trình: $\mathbf{{a_n}{x^n}+{a_{(n-1)}}{x^{(n-1)}}+ … +{a_2}{x^2}+{a_1}x+{a_0}=0, {a_n}\ne{0}}$

thì: $\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{a={a_n}\\-a({x_1}+{x_2}+…+{x_n}={a_{(n-1)}}\\…\\…\\{(-1)^{(n-1)}}a({x_1}{x_2}…{x_{(n-1)}}+{x_1}{x_2}…{x_{(n-2)}}{x_n}+…+{x_2}{x_3}…{x_n})={a_1}\\{(-1)^n}a({x_1}{x_2}…{x_n})={a_0}}\end{array} \right.$

4. Áp dụng

Bài toán 1: Không giải phương trình $\mathbf{{x^2}-5x+6=0}$        $(1)$

Tính giá trị của biểu thức: $\mathbf{P=\dfrac{2({x_1}+{x_2})}{{x_1}{x_2}}+\dfrac{2{x_1}{x_2}}{{x_1}+{x_2}}}$ khi ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có:

$P=\dfrac{2({x_1}+{x_2})}{{x_1}{x_2}}+\dfrac{2{x_1}{x_2}}{{x_1}+{x_2}}$

$=\dfrac{-2b}{c}+\dfrac{-2c}{b}$

$=\dfrac{61}{15}$

25

Các bạn có góp ý hay bình luận gì cho bài viết này hay muốn ad viết về vấn đề nào thì đừng ngại để lại bình luận hoặc gửi tin nhắn trên fanpage cho ad nhá.

Chia sẻ

About Toanbitexdtgd1

Toanbitexdtgd1

Bài Viết Tương Tự

Bài toán HH TS 10 PTNK (câu 3)

    Tứ giác $ABED$ nội tiếp đường tròn, hai đường chéo giao nhau tại …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết