TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ NHANH NHẤT

  • 14/01/2022
  • 131 lượt xem
  • thaohlt

I. Kiến thức chung

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số $u$: $\mathbf{\mathbb{N}^*\rightarrow{}\mathbb{R}}, \mathbf{n\rightarrow{}u(n)}$

Dãy số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp thep đổi số tự nhiên $n$: $\mathbf{u(1), u(2),…, u(n)}…$. Trong đó, $u(1)$ được gọi là số hạng đầu tiên của dãy số và $u(n)$ gọi là số hạng thứ $n$ hay số hạng tổng quát của dãy số.

Dãy số được gọi là tăng nếu $u(n)<u(n+1)$ với mọi $n\in{}\mathbb{N}^*$. Dãy số bị chặn dưới nếu $u(n)>n$ với mọi $n\in{}\mathbb{N}^*$. Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới (dãy bị chặn) nếu l$u(n)$l$<M$ với mọi $n\in{}\mathbb{N}^*$, $M$ là số thực dương.

 

II. Phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số nhanh nhất

  1. Sử dụng cấp số cộng $-$ cấp số nhân để xây dựng cách tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt.
  2. Sử dụng phép thế lượng giác để xác định công thức tổng quát của dãy số.
  3. Ứng dụng bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số $-$ tổ hợp

 

Ví dụ minh họa tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Dạng 1: Cho dãy số $(u_n)$ có dạng khai triển sau: $\mathbf{1;-2;-2;1;7;16;28;43;61;…}$

Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?

Nhận xét: Với $10$ số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với đề bài này, ta thường làm phương pháp sau:

Đặt:

$\Delta{u_k}={u_{k+1}}-{u_k}$

$\Delta^2{u_k}=\Delta{u_{k+1}}-\Delta{u_k}$

$\Delta^3{u_k}=\Delta^2{u_{k+1}}-\Delta^2{u_k}$

$…$

Ta lập bảng các giá trị $\Delta{u_k},\Delta^2{u_k},\Delta^3{u_k}…$ nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận ${u_n}$ là đa thức bậc $1, 2, 3,…$ và ta đi tìm đa thức đó.

Bảng giá trị ban đầu:

${u_k}$ $1$ $-2$ $-2$ $1$ $7$ $16$ $28$ $43$ $61$
$\Delta{u_k}$ $-3$ $-4$ $3$ $6$ $9$ $12$ $15$ $18$
$\Delta^2{u_k}$ $-1$ $7$ $2$ $3$ $3$ $3$ $3$

Ta thấy hàng của $\Delta^2{u_k}$ không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: ${u_n}=an^2+bn+c (a\ne{0})  (1)$ trong đó $n$ là số thứ tự của các số hạng trong dãy.

Tìm $a,b,c$ như sau:

Cho giá trị $n$ lần lượt là $1, 2, 3$ vào phương trình $(1)$ ta được hệ phương trình như sau:

$\left\{ \begin{array}{l}{a}+{b}+{c}=1\\{4a}+{2b}+{c}=-2\\{9a}+{3b}+{c}=-2\end{array} \right.$

$\iff{}\left\{ \begin{array}{l}{a}=\dfrac{3}{2}\\{b}=-\dfrac{15}{2}\\{c}=7\end{array} \right.$

Nhấn w913

3536 37 38

Vậy công thức của số hạng tổng quát là: ${u_n}=\dfrac{3}{2}n^2-\dfrac{15}{2}n+7$

Số hạng tiếp theo: ${u_{10}}=82$

 

Bài tập tương tự:

Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số

$1)   8;14;20;26;31;…$

Đáp số: ${u_n}=6n+2$

$2)   1;6;17;34;57;86;121;…$

Đáp số: ${u_n}=3n^2-4n+2$

$3)   2;2;8;26;62;122;212;338;…$

Đáp số: ${u_n}=n^3-3n^2+2n+2$

 

Dạng 2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $({u_n})$ biết:

$\mathbf{\left\{ \begin{array}{l}{u_1}=-1\\{u_{n+1}}={u_n}+3,  n\geqslant{1}\end{array} \right.}$

Vì ${u_{n+1}}={u_n}+3,  n\geqslant{1}$

$\longrightarrow{}({u_n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1}=-1$ và công sai $d=3$

$\longrightarrow{}{u_n}={u_1}+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$

 

Bài tập tương tự:

Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $({u_n})$ biết:

$1) \left\{ \begin{array}{l}{u_1}=1\\{u_{n+1}}={u_n}+7,  n\geqslant{1}\end{array} \right.$

Đáp số: ${u_n}=7n-6$

$2) \left\{ \begin{array}{l}{u_1}=3\\{u_{n+1}}=2{u_n},  n\geqslant{1}\end{array} \right.$

Đáp số: ${u_n}=2^{n-1}.3$

 

 

Chia sẻ

About Toanbitexdtgd1

Huỳnh Lê Thu Thảo

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Hướng dẫn: Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Nhận xét rằng vì $AB=AC$ và $SB=SC$ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết