TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ NHANH NHẤT
- 14/01/2022
- 1,121 lượt xem
I. Kiến thức chung
Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số $u$: $\mathbf{\mathbb{N}^*\rightarrow{}\mathbb{R}}, \mathbf{n\rightarrow{}u(n)}$
Dãy số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp thep đổi số tự nhiên $n$: $\mathbf{u(1), u(2),…, u(n)}…$. Trong đó, $u(1)$ được gọi là số hạng đầu tiên của dãy số và $u(n)$ gọi là số hạng thứ $n$ hay số hạng tổng quát của dãy số.
Dãy số được gọi là tăng nếu $u(n)<u(n+1)$ với mọi $n\in{}\mathbb{N}^*$. Dãy số bị chặn dưới nếu $u(n)>n$ với mọi $n\in{}\mathbb{N}^*$. Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới (dãy bị chặn) nếu l$u(n)$l$<M$ với mọi $n\in{}\mathbb{N}^*$, $M$ là số thực dương.
II. Phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số nhanh nhất
- Sử dụng cấp số cộng $-$ cấp số nhân để xây dựng cách tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt.
- Sử dụng phép thế lượng giác để xác định công thức tổng quát của dãy số.
- Ứng dụng bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số $-$ tổ hợp
Ví dụ minh họa tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi
Dạng 1: Cho dãy số $(u_n)$ có dạng khai triển sau: $\mathbf{1;-2;-2;1;7;16;28;43;61;…}$
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Nhận xét: Với $10$ số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với đề bài này, ta thường làm phương pháp sau:
Đặt:
$\Delta{u_k}={u_{k+1}}-{u_k}$
$\Delta^2{u_k}=\Delta{u_{k+1}}-\Delta{u_k}$
$\Delta^3{u_k}=\Delta^2{u_{k+1}}-\Delta^2{u_k}$
$…$
Ta lập bảng các giá trị $\Delta{u_k},\Delta^2{u_k},\Delta^3{u_k}…$ nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận ${u_n}$ là đa thức bậc $1, 2, 3,…$ và ta đi tìm đa thức đó.
Bảng giá trị ban đầu:
${u_k}$ | $1$ | $-2$ | $-2$ | $1$ | $7$ | $16$ | $28$ | $43$ | $61$ | ||||||||
$\Delta{u_k}$ | $-3$ | $-4$ | $3$ | $6$ | $9$ | $12$ | $15$ | $18$ | |||||||||
$\Delta^2{u_k}$ | $-1$ | $7$ | $2$ | $3$ | $3$ | $3$ | $3$ |
Ta thấy hàng của $\Delta^2{u_k}$ không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: ${u_n}=an^2+bn+c (a\ne{0}) (1)$ trong đó $n$ là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm $a,b,c$ như sau:
Cho giá trị $n$ lần lượt là $1, 2, 3$ vào phương trình $(1)$ ta được hệ phương trình như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}{a}+{b}+{c}=1\\{4a}+{2b}+{c}=-2\\{9a}+{3b}+{c}=-2\end{array} \right.$
$\iff{}\left\{ \begin{array}{l}{a}=\dfrac{3}{2}\\{b}=-\dfrac{15}{2}\\{c}=7\end{array} \right.$
Nhấn w913
Vậy công thức của số hạng tổng quát là: ${u_n}=\dfrac{3}{2}n^2-\dfrac{15}{2}n+7$
Số hạng tiếp theo: ${u_{10}}=82$
Bài tập tương tự:
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số
$1) 8;14;20;26;31;…$
Đáp số: ${u_n}=6n+2$
$2) 1;6;17;34;57;86;121;…$
Đáp số: ${u_n}=3n^2-4n+2$
$3) 2;2;8;26;62;122;212;338;…$
Đáp số: ${u_n}=n^3-3n^2+2n+2$
Dạng 2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $({u_n})$ biết:
$\mathbf{\left\{ \begin{array}{l}{u_1}=-1\\{u_{n+1}}={u_n}+3, n\geqslant{1}\end{array} \right.}$
Vì ${u_{n+1}}={u_n}+3, n\geqslant{1}$
$\longrightarrow{}({u_n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1}=-1$ và công sai $d=3$
$\longrightarrow{}{u_n}={u_1}+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$
Bài tập tương tự:
Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $({u_n})$ biết:
$1) \left\{ \begin{array}{l}{u_1}=1\\{u_{n+1}}={u_n}+7, n\geqslant{1}\end{array} \right.$
Đáp số: ${u_n}=7n-6$
$2) \left\{ \begin{array}{l}{u_1}=3\\{u_{n+1}}=2{u_n}, n\geqslant{1}\end{array} \right.$
Đáp số: ${u_n}=2^{n-1}.3$