Vấn đề tìm khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng

 

Bài toán: Trong không gian cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $SA\perp (BCD)$. Cho biết độ dài $AB, AC$ và $SA$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mp$(SBC)$.

 

 

Hạ $AK\perp (SBC)$. Tứ diện $ASBC$ có các cạnh đi qua $A$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $$\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AS^2}$$

Kết luận: $d(A, (SBC)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}}}$

 

Áp dụng 1: Đề thi thử TN THPT 2021 môn Toán kênh truyền hình Giáo dục Quốc gia VTV7 (Đề 1)
vtv36

vtv36a

 

Lưu ý: nếu không tinh ý phát hiện hình tính của khối tứ diện sẽ mất nhiều thời gian hơn để dựng hình và tính toán khoảng cách.

 

 

Bây giờ ta sẽ xét trường hợp phức tạp hơn khi tam giác $ABC$ không có tính chất gì đặc biệt, giả sử đã biết ba cạnh của tam giác $ABC$.

 

Hạ $AH\perp BC$. Mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAH)$ và cắt mặt phẳng này theo giao tuyến $SH$. Hạ $AK\perp SH$ suy ra $AK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

$$\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AH^2}$$

Ta có $AH.BC=AB.AC.\sin A\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC.\sin A}{BC}$

 

 

Vậy

 

$$d(A,(SBC))=\dfrac{1}{
\sqrt{
\dfrac{BC^2}{AB^2.AC^2.\sin^2A}+\dfrac{1}{SA^2}
}
}$$

 

Áp dụng bằng số theo bài tập dưới đây.

 

 

Áp dụng 2: Đề thi THPTQG 2019
hkg19a

 

 

Vì $AB$ song song với $(SCD)$ nên $$d(B,(SCD))=d(A,(SCD))=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{CD^2}{AD^2.AC^2.\sin^2\widehat{DAC}}+\dfrac{1}{SA^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4}{AC^2}+\dfrac{1}{AS^2}}}$$  
(vì $CD=DA$ và $\widehat{DAC}=30^\circ$)

Vậy $$d(B,(SCD))=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4}{DA^2+DC^2-2DA.DC.\cos 120^\circ}+\dfrac{1}{AS^2}}}$$

hkg1b 2

 

 

PS. Công thức $d(A,(SBC))=\dfrac{1}{
\sqrt{
\dfrac{BC^2}{AB^2.AC^2\sin^2A}+\dfrac{1}{SA^2}
}
}$ cũng sử dụng cho trường hợp tam giác vuông, xem như không phân biệt tam giác đáy, tuy nhiên yêu cầu cơ bản bắt buộc là $SA\perp (ABC)$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Giải câu 41 minh họa 2022

  Ta có: $F(1)=F(0)+\displaystyle \int_0^1f(x)dx$ $f(x)=12.\dfrac{x^3}{3}+2x+C$ với $C=f(1)-12\times \dfrac13-2$   Vậy  $F(1)=$

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết