Vài lưu ý quan trọng trước kỳ thi HSG MTCT (THCS và THPT)

Bài toán 1. Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số là số tự nhiên nhỏ hơn số tự nhiên $a$, thỏa điều kiện $P(a)=b$ với $b$ là số tự nhiên cho trước.

 

Thuật toán

 

Ta lấy $b$ chia có dư cho $a$, giả sử thương là $b_0$ và dư là $a_0$.
 
Lấy $b_0$ chia có dư cho $a$, giả sử thương là $b_1$ và dư là $a_1$.
 
Lấy $b_1$ chia có dư cho $a$, giả sử thương là $b_2$ và dư là $a_2$.
 
Quá trình sẽ kết thúc khi thương bằng 0.
 
Khi đó đa thức tạo thành là $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots $
 

hsgcc1

 
hsgcc1aa hsgcc1b hsgcc1c
 
hsgcc1d hsgcc1e
 
Đa thức cần tìm là $P(x)=0+8x+5x^2+x^3$. Khi đó dat7 1

 

Ví dụ 2. Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$.

 

 

hsgcc2a hsgcc2b
 
hsgcc2y hsgcc2z
 
Kết luận $P(x)=2x^3+x+4$.
 

$P(2025)=16607533279$ ll1b

 

Bài toán 2. Tìm 3 chữ số cuối cùng của tích liên tiếp các số tự nhiên lẻ từ $a$ đến $b$.

 

 

Thuật toán

 

Số các số tự nhiên lẻ từ $a$ tới $b$ là $c=\dfrac{b-a}{2}+1$, đem chia thành các bộ tứ bằng cách chia có dư $c$ cho $4$ tìm dư. Dư này bằng $0$, $1$, $2$ hoặc $3$.
 
Nếu dư bằng $0$ thì 3 chữ số cuối cùng là $625$.
 
Nếu dư bằng $1$ thì lấy $625$ nhân cho số lẻ cuối cùng sẽ biết kết quả.
 
Nếu dư bằng $2$ thì lấy $625$ nhân cho tich của 2 số lẻ cuối cùng sẽ biết kết quả.
 
Nếu dư bằng $3$ thì lấy $625$ nhân cho tich của 3 số lẻ cuối cùng sẽ biết kết quả.
 

Vận dụng. Tìm 3 chữ số cuối cùng của tích $5.7.9.11.\dots 2021.2023.2025$

 

hsgcc3a hsgcc3b
 
hsgcc3c

 

Kết quả: $875$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài Viết Tương Tự

Đại số (câu 1) TS 10 PTNK 2024

  Bài 1 a).   Xét hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l}y^3+z^3=x\quad (1)\\ z^3+x^3=y\quad (2)\\ x^3+y^3=z \quad …