Toán học vui :)

Về bài toán nguyên hàm của hàm số $F(x).e^x$

Trước hết ta có nhận xét
$$\left(u.e^x\right)’=(u+u’)e^x$$
Vậy $$\int (u+u’)e^xdx=u.e^x+C$$

Áp dụng 1:

$\displaystyle \int x^3e^xdx=\int \left[\left(x^3+3x^2\right)+\left(-3x^2-6x\right)+\left(6x+6\right)-6\right]e^xdx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C$

Áp dụng 2:

$\displaystyle \int \sin xe^xdx=\dfrac12\int \left[(\sin x+\cos x)-(\cos x -\sin x)\right]e^xdx=\dfrac12\left(\sin x-\cos x\right)e^x+C$

Áp dụng 3:

$\displaystyle \int \cos xe^xdx=\dfrac12\int \left[(\cos x -\sin x)+(\sin x +\cos x)\right]e^xdx=\dfrac12\left(\cos x+\sin x\right)e^x+C$

Áp dụng 4:

$xf'(x)+(x+1)f(x)=e^{-x}\ \forall x \Rightarrow xf'(x)+f(x)+ xf(x)=e^{-x}\ \forall x$

$\Rightarrow (xf(x))’+ xf(x)dx =e^{-x}\ \forall x \Rightarrow \left((xf(x))’+ xf(x)\right)e^{x}=1\ \forall x $

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $$x.f(x).e^x=x+C$$

Thay $x=0$ vào ta suy ra $C=0$.

Vậy $xf(x)=x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ f(x)=e^{-x}\end{array}\right.$

Vậy $f'(x)=-e^{-x} \Rightarrow f'(0)=-1$, chọn B.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.