Toán học vui :)

Về bài toán nguyên hàm của hàm số $F(x).e^x$

Trước hết ta có nhận xét
$$\left(u.e^x\right)’=(u+u’)e^x$$
Vậy $$\int (u+u’)e^xdx=u.e^x+C$$

Áp dụng 1:

$\displaystyle \int x^3e^xdx=\int \left[\left(x^3+3x^2\right)+\left(-3x^2-6x\right)+\left(6x+6\right)-6\right]e^xdx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C$

 

Áp dụng 2:

$\displaystyle \int \sin xe^xdx=\dfrac12\int \left[(\sin x+\cos x)-(\cos x -\sin x)\right]e^xdx=\dfrac12\left(\sin x-\cos x\right)e^x+C$

 

Áp dụng 3:

$\displaystyle \int \cos xe^xdx=\dfrac12\int \left[(\cos x -\sin x)+(\sin x +\cos x)\right]e^xdx=\dfrac12\left(\cos x+\sin x\right)e^x+C$

 

Áp dụng 4:

cau40

$xf'(x)+(x+1)f(x)=e^{-x}\ \forall x \Rightarrow xf'(x)+f(x)+ xf(x)=e^{-x}\ \forall x$

 

$\Rightarrow (xf(x))’+ xf(x)dx =e^{-x}\ \forall x \Rightarrow \left((xf(x))’+ xf(x)\right)e^{x}=1\ \forall x $

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $$x.f(x).e^x=x+C$$

Thay $x=0$ vào ta suy ra $C=0$.

 

Vậy $xf(x)=x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ f(x)=e^{-x}\end{array}\right.$

 

Vậy $f'(x)=-e^{-x} \Rightarrow f'(0)=-1$, chọn B.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Bài giảng của Thầy Sơn tại SGD và ĐT Bình Thuận

Nếu file trình chiếu pdf dưới đây không hiển thị được, các bạn hãy bấm …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết