BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải câu 46 Chuyên Vinh lần 2 (19/7/2020)
- 31/07/2020
- 108 lượt xem
Giải
Phần thuận:
Điều kiện: $x^2+2mx+2m^2-1>0\ \forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta’=-m^2+1>0\quad $ 
Bất phương trình đã cho tương đương với $$\log_{x^2+3}\left(\dfrac{x^2+2mx+2m^2-1}{3}\right)\leqslant \log_2(x^2+2x+3)$$
Vì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x$ nên nó sẽ nghiệm đúng khi $x=0$. Lúc đó: $$\log_3\left(\dfrac{2m^2-1}{3}\right)\leqslant \log_23$$
Vì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x$ nên nó sẽ nghiệm đúng khi $x=-1$. Lúc đó: $$\log_4\left(\dfrac{2m^2-2m}{3}\right)\leqslant 1$$
Vì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x$ nên nó sẽ nghiệm đúng khi $x=-2$. Lúc đó: $$\log_7\left(\dfrac{2m^2-4m+3}{3}\right)\leqslant \log_23$$
Giao bốn tập hợp nghiệm ta có $m=-2\ \vee \ m=2$.
Phần đảo:
Cài đặt chế độ lập bảng cho hai hàm số để so sánh giá trị của hai hàm.
- Nếu $m=-2$ bất phương trình trở thành $$\log_{x^2+3}\left(\dfrac{x^2+4x+7}{3}\right) \leqslant \log_2(x^2+2x+3) $$
Duyệt 30 giá trị, “chấp nhận rủi ro” ta thấy khi $m=-2$ bất phương trình được nghiệm đúng với mọi $x$.
- Nếu $m=2$ bất phương trình trở thành $$\log_{x^2+3}\left(\dfrac{x^2+4x+7}{3}\right) \leqslant \log_2(x^2+2x+3) $$
Duyệt 30 giá trị, “chấp nhận rủi ro” ta thấy khi $m=2$ bất phương trình được nghiệm đúng với mọi $x$. - Vậy ycbt $\Leftrightarrow m=\pm 2$
PS. Nếu là bài toán tự luận, không chấp nhận rủi ro, ta nhìn vào bảng và nhận thấy VT luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1 còn VP luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Ta chứng minh nhận xét đó.
$\log_{x^2+3}\left(\dfrac{x^2+4x+7}{3}\right) \leqslant 1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+4x+7}{3} \leqslant x^2+3 \Leftrightarrow 2x^2-4x+2 \geqslant 0 $ (hiển nhiên)
$\log_2(x^2+2x+3) \geqslant 1 \Leftrightarrow x^2+2x+1 \geqslant 0$ (hiển nhiên)
About TS. Nguyễn Thái Sơn
