Thể tích của khối tứ diện khi biết 6 cạnh bởi định thức cấp 4
- 05/05/2023
- 337 lượt xem
Công thức
|
Giả sử ta có một khối tứ diện, ba cạnh đi qua một đỉnh (giả sử đỉnh A) lần lượt ký hiệu là $a_1, a_2, a_3$.
Quy ước cạnh đối diện với $a_3, a_2, a_1$ lần lượt là $a_4, a_5, a_6$.
Lưu ý ba cạnh $a_1, a_4, a_5$; $\quad a_2, a_4, a_6$; $\quad a_3, a_5, a_6$ cùng đi qua một đỉnh (liệt kê tuân theo thứ tự, cố gắng nhớ thứ tự này) . Ta ký hiệu $A_i=a_i^2\quad (i=1,2,3,4,5,6)$. Ta xây dựng định thức cấp 4 sau đây, người ta gọi nó là định thức Caylay-Menger. Để dễ nhớ chúng tôi viết tuần tự: $$\left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\ Nhớ lại nhận xét về $a_1, a_4, a_5$. Cuối cùng nhớ lại nhận xét về $a_3, a_5, a_6$.$$D=\left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\ Định thức này là một số âm và thể tích của khối tứ diện: Định thức Caylay-Menger (gốc) là một số dương và là định thức cấp 5 (khá dễ nhớ, nhưng vì máy tính Casio fx-880BTG chỉ tính được định thức cấp 4 nên chúng tôi phải thay thế, khó nhớ hơn một chút). |
Áp dụng |
Cho khối tứ diện ABCD có ${\color{blue} {AB=5}}, CD=\sqrt{10}, {\color{blue} {AC=2\sqrt2}}, BD=3\sqrt3, BC=\sqrt{13}, {\color{blue}{AD=\sqrt{22}}}$. Tính thể tích của khối tứ diện đã cho |
Mở một ma trận A cấp 4, nhìn vào hình không gian nhập tuần tự như hình vẽ dưới đây:
Cuối cùng lộ diện ma trận A:
Và thể tích của khối tứ diện:
Nhận xét: Máy tính Casio fx-9860 tính được định thức cấp 5, tuy nhiên nhập vào ma trận cấp 4 sẽ nhanh hơn nhập vào ma trận cấp 5. |
Ngoài cách nhập trực tiếp ma trận A như trên (hơi khó nhớ) ta có nhập ma trận B và ma trận C như sau (riêng ma trận C chúng tôi nhập tuần tự cho dễ thực hiện): $$B=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ A_1&-A_1&-A_2&-A_3\\ A_2&-A_1&-A_2&-A_3\\ A_3&-A_1&-A_2&-A_3 \end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{cccc} Nhớ đặt bộ ba $A_4, A_5, A_6$ vào đúng chỗ. Lúc bấy giờ lấy $B+C$ ta được $A$. Cách này có thể thiết lập A nhanh hơn. |