Thể tích của khối tứ diện khi biết 6 cạnh bởi định thức cấp 4

Quy ước cạnh đối diện với $a_3, a_2, a_1$ lần lượt là $a_4, a_5, a_6$.

Lưu ý ba cạnh $a_1, a_4, a_5$; $\quad a_2, a_4, a_6$; $\quad a_3, a_5, a_6$ cùng đi qua một đỉnh (liệt kê tuân theo thứ tự, cố gắng nhớ thứ tự này) .

Ta ký hiệu $A_i=a_i^2\quad (i=1,2,3,4,5,6)$.

Ta xây dựng định thức cấp 4 sau đây, người ta gọi nó là định thức Caylay-Menger.

Để dễ nhớ chúng tôi viết tuần tự:

$$\left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\
A_1&\bullet&\bullet&\bullet\\
A_2&\bullet&\bullet&\bullet\\
A_3&\bullet&\bullet&\bullet\end{array}\right|\rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\
A_1&-A_1&\bullet&\bullet\\
A_2&\bullet&-A_2&\bullet\\
A_3&\bullet&\bullet&-A_3\end{array}\right|\rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\
A_1&-A_1&\bullet&\bullet\\
A_2&A_4-A_1&-A_2&\bullet\\
A_3&A_5-A_1&\bullet&-A_3\end{array}\right|$$

Nhớ lại nhận xét về $a_1, a_4, a_5$.
$$\rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\
A_1&-A_1&A_4-A_2&\bullet\\
A_2&A_4-A_1&-A_2&\bullet\\
A_3&A_5-A_1&A_6-A_2&-A_3\end{array}\right|$$
Nhớ lại nhận xét về $a_2, a_4, a_6$.

Cuối cùng nhớ lại nhận xét về $a_3, a_5, a_6$.$$D=\left|\begin{array}{cccc}1 &1&1&1\\
A_1&-A_1&A_4-A_2&A_5-A_3\\
A_2&A_4-A_1&-A_2& A_6-A_3\\
A_3&A_5-A_1&A_6-A_2&-A_3\end{array}\right|$$

Định thức này là một số âm và thể tích của khối tứ diện:
$$\color{blue}{V=\sqrt{\dfrac{D}{-288}}}$$

Định thức Caylay-Menger (gốc) là một số dương và là định thức cấp 5 (khá dễ nhớ, nhưng vì máy tính Casio fx-880BTG chỉ tính được định thức cấp 4 nên chúng tôi phải thay thế, khó nhớ hơn một chút).

$$\left(\begin{array}{cccc}
0&0&0&0\\
0&0&\bullet&\bullet\\
0&\bullet&0&\bullet\\
0&\bullet&\bullet&0
\end{array}\right)\rightarrow
C=\left(\begin{array}{cccc}
0&0&0&0\\
0&0&A_4&A_5\\
0&A_4&0&A_6\\
0&A_5&A_6&0
\end{array}\right)$$

Nhớ đặt bộ ba $A_4, A_5, A_6$ vào đúng chỗ. Lúc bấy giờ lấy $B+C$ ta được $A$. Cách này có thể thiết lập A nhanh hơn.